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Beta termodinámica

Beta termodinámica
Producto recíproco de la temperatura con la constante de Boltzmann, frecuentemente utilizado en exponenciales en física y química y relacionando la mecánica estadística con la teoría de la información.

En termodinámica estadística, la beta termodinámica , también conocida como frialdad , es el recíproco de la temperatura termodinámica de un sistema:

β = 1kBT {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}} (donde T es la temperatura y k B es la constante de Boltzmann).

Fue introducido originalmente en 1971 (como Kältefunktion "función de frío") por Ingo Müller, uno de los defensores de la escuela racional de pensamiento termodinámico, basado en propuestas anteriores para una función de "temperatura recíproca".

La beta termodinámica tiene unidades recíprocas a la de la energía (en unidades SI, = J − 1 {\ displaystyle = {\ textrm {J}} ^ {- 1}}). En unidades no térmicas, también se puede medir en bytes por julio o, más convenientemente, en gigabytes por nanojulio; 1 K − 1 es equivalente a aproximadamente 13.062 gigabytes por nanojulio; a temperatura ambiente: T = 300K, β ≈ 44 GB / nJ ≈ 39 eV − 1 ≈ 2.4 × 1020 J − 1.

Descripción

La beta termodinámica es esencialmente la conexión entre la teoría de la información y la interpretación de la mecánica estadística de un sistema físico a través de su entropía y la termodinámica asociada con su energía. Expresa la respuesta de la entropía a un aumento de energía. Si un sistema es desafiado con una pequeña cantidad de energía, entonces β describe la cantidad que el sistema asignará al azar.

A través de la definición estadística de temperatura en función de la entropía, la función de frialdad se puede calcular en el conjunto microcanónico a partir de la fórmula

β = 1kBT = 1kB (∂S∂E) V, N {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}} \, = {\ frac {1} {k_ { \ rm {B}}}} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial E}} \ right) _ {V, N}}

(es decir, la derivada parcial de la entropía S con respecto a la energía E a volumen constante V y número de partículas N).

Ventajas

Aunque es completamente equivalente en contenido conceptual a la temperatura, β generalmente se considera una cantidad más fundamental que la temperatura debido al fenómeno de la temperatura negativa, en el que β es continuo a medida que cruza cero mientras que T tiene una singularidad.

Interpretación estadística

Desde el punto de vista estadístico, β es una cantidad numérica que relaciona dos sistemas macroscópicos en equilibrio. La formulación exacta es la siguiente. Considere dos sistemas, 1 y 2, en contacto térmico, con energías respectivas E 1 y E 2. Suponemos que E 1 + E 2 = alguna E constante. El número de microestados de cada sistema se denotará por Ω1 y Ω2. Según nuestros supuestos, Ω i depende solo de Ei . Por lo tanto, el número de microestados para el sistema combinado es

Ω = Ω1 (E1) Ω2 (E2) = Ω1 (E1) Ω2 (E − E1). {\ Displaystyle \ Omega = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} (E_ {2 }) = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} (E-E_ {1}). \,}

Derivaremos β del supuesto fundamental de la mecánica estadística:

Cuando el sistema combinado alcanza el equilibrio, el número Ω se maximiza.

(En otras palabras, el sistema busca naturalmente el número máximo de microestados). Por lo tanto, en equilibrio,

ddE1Ω = Ω2 (E2) ddE1Ω1 (E1) + Ω1 (E1) ddE2Ω2 (E2) ⋅dE2dE1 = 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega = \ Omega _ {2} ( E_ {2}) {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega _ {1} (E_ {1}) + \ Omega _ {1} (E_ {1}) {\ frac {d} { dE_ {2}}} \ Omega _ {2} (E_ {2}) \ cdot {\ frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = 0.}

Pero E 1 + E 2 = E implica

dE2dE1 = −1. {\ displaystyle {\ frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = - 1.}

Entonces

Ω2 (E2) ddE1Ω1 (E1) −Ω1 (E1) ddE2Ω2 (E2) = 0 {\ displaystyle \ Omega _ {2} (E_ {2}) {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega _ {1} (E_ {1}) - \ Omega _ {1} (E_ {1}) {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ Omega _ {2} (E_ {2}) = 0}

es decir

ddE1ln⁡Ω1 = ddE2ln⁡Ω2 en equilibrio. {\ displaystyle {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ ln \ Omega _ {1} = {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ ln \ Omega _ {2} \ quad {\ mbox {en equilibrio.}}}

La relación anterior motiva una definición de β :

β = dln⁡ΩdE. {\ displaystyle \ beta = {\ frac {d \ ln \ Omega} {dE}}.}

Conexión de la vista estadística con la vista termodinámica.

Cuando dos sistemas están en equilibrio, tienen la misma temperatura termodinámica T. Por lo tanto, intuitivamente, uno esperaría que β (como se define mediante microestados) esté relacionado con T de alguna manera. Este enlace es proporcionado por la suposición fundamental de Boltzmann escrita como

S = kBln⁡Ω, {\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ ln \ Omega, \,}

donde k B es la constante de Boltzmann y S es la entropía termodinámica clásica. Entonces

dln⁡Ω = 1kBdS. {\ displaystyle d \ ln \ Omega = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}}}} dS.}

Sustituyendo en la definición de β da

β = 1kBdSdE. {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}}}} {\ frac {dS} {dE}}.}

Comparando con la fórmula termodinámica

dSdE = 1T, {\ displaystyle {\ frac {dS} {dE}} = {\ frac {1} {T}},}

tenemos

β = 1kBT = 1τ {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}} = {\ frac {1} {\ tau}}}

donde τ {\ displaystyle \ tau} se llama temperatura fundamental del sistema y tiene unidades de energía.