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Espacio de coordenadas real

Espacio de coordenadas real

En matemáticas, el espacio de coordenadas real de n dimensiones, escrito R n (/ ɑːrˈɛn / ar-EN ) (también escrito ℝ n con pizarra en negrita) es un espacio de coordenadas que permite tratar varias ( n ) variables reales como una sola variable. Con varios números de dimensiones (a veces sin especificar), R n se usa en muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, así como en la física. Con la suma por componentes y la multiplicación escalar, es el espacio vectorial real prototípico y es una representación frecuentemente utilizada del espacio n euclidiano. Debido a este último hecho, las metáforas geométricas se usan ampliamente para R n , es decir, un plano para R 2 y un espacio tridimensional para R 3.

Definición y usos

Para cualquier número natural n, el conjunto R n consiste en todas las n-tuplas de números reales ( R ). Se llama (el) "espacio real n-dimensional". Dependiendo de su construcción a partir de n instancias del conjunto R , hereda parte de la estructura de este último, en particular:

  • Cuando se define como la suma directa de espacios vectoriales, la suma y la multiplicación escalar se definen en R n : ver más abajo
  • R n es un espacio topológico: ver abajo

Se escribe un elemento de R n

x = (x1, x2,…, xn) {\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

donde cada x i es un número real.

Para cada n solo existe un R n , el espacio n real.

Los usos puramente matemáticos de R n pueden clasificarse aproximadamente de la siguiente manera, aunque estos usos se superponen. Primero, el álgebra lineal estudia sus propias propiedades bajo la suma de vectores y las transformaciones lineales y lo usa como modelo de cualquier espacio vectorial real n-dimensional. En segundo lugar, se utiliza en el análisis matemático para representar el dominio de una función de n variables reales de manera uniforme, así como un espacio en el que el gráfico de una función con valor real de n - 1 variables reales es un subconjunto. El tercer uso parametriza puntos geométricos con elementos de R n ; Es común en geometrías analíticas, diferenciales y algebraicas.

R n , junto con estructuras suplementarias, también se usa ampliamente en física matemática, teoría de sistemas dinámicos, estadística matemática y teoría de probabilidad.

En las matemáticas aplicadas, el análisis numérico, etc., las matrices, secuencias y otras colecciones de números en las aplicaciones también pueden verse como el uso de R n .

El dominio de una función de varias variables.

Cualquier función f ( x 1, x 2, ..., x n ) de n variables reales se puede considerar como una función en R n (es decir, con R n como su dominio). El uso del espacio n real, en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables. Considere, para n = 2, una composición de función de la siguiente forma:

F (t) = f (g1 (t), g2 (t)), {\ displaystyle F (t) = f (g_ {1} (t), g_ {2} (t)),}

donde las funciones g 1 y g 2 son continuas. Si

x 1 ∈ R : f ( x 1, ·) es continua (por x 2) ∀ x 2 ∈ R : f (·, x 2) es continua (por x 1)

entonces F no es necesariamente continuo. La continuidad es una condición más fuerte: la continuidad de f en la topología natural de R 2 (discutida más adelante), también llamada continuidad multivariable , que es suficiente para la continuidad de la composición F.

Espacio vectorial

El espacio de coordenadas R n forma un espacio vectorial n-dimensional sobre el campo de números reales con la adición de la estructura de linealidad, y a menudo todavía se denota R n . Las operaciones en R n como espacio vectorial se definen típicamente por

x + y = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn) {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})} αx = (αx1, αx2,…, αxn). {\ displaystyle \ alpha \ mathbf {x} = (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ ldots, \ alpha x_ {n}).}

El vector cero viene dado por

0 = (0,0,…, 0) {\ displaystyle \ mathbf {0} = (0,0, \ ldots, 0)}

y el inverso aditivo del vector x viene dado por

−x = (- x1, −x2,…, −xn). {\ Displaystyle - \ mathbf {x} = (- x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, -x_ {n}).}

Esta estructura es importante porque cualquier espacio vectorial real n-dimensional es isomorfo al espacio vectorial R n .

Notación matricial

En notación matricial estándar, cada elemento de R n se escribe típicamente como un vector de columna

x = {\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}}

y a veces como un vector de fila:

x =. {\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ dots & x_ {n} \ end {bmatrix}}.}

El espacio de coordenadas R n puede entonces interpretarse como el espacio de todos los vectores de columna n × 1, o todos los vectores de fila 1 × n con las operaciones de matriz ordinarias de suma y multiplicación escalar.

Las transformaciones lineales de R n a R m se pueden escribir como matrices m × n que actúan sobre los elementos de R n mediante la multiplicación a la izquierda (cuando los elementos de R n son vectores de columna) y sobre los elementos de R m mediante la multiplicación a la derecha (cuando son vectores de fila). La fórmula para la multiplicación izquierda, un caso especial de multiplicación matricial, es:

(Ax) k = ∑l = 1nAklxl {\ displaystyle (A {\ mathbf {x}}) _ {k} = \ sum \ limites _ {l = 1} ^ {n} A_ {kl} x_ {l}}

Cualquier transformación lineal es una función continua (ver más abajo). Además, una matriz define un mapa abierto de R n a R m si y solo si el rango de la matriz es igual a m.

Base estándar

El espacio de coordenadas R n viene con una base estándar:

e1 = (1,0,…, 0) e2 = (0,1,…, 0) ⋮ es = (0,0,…, 1) {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {e} _ { 1} & = (1,0, \ ldots, 0) \\\ mathbf {e} _ {2} & = (0,1, \ ldots, 0) \\ & {} \ \ vdots \\\ mathbf { e} _ {n} & = (0,0, \ ldots, 1) \ end {alineado}}}

Para ver que esto es una base, tenga en cuenta que un vector arbitrario en R n puede escribirse únicamente en la forma

x = ∑i = 1nxiei. {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i}.}

Propiedades y usos geométricos.

Orientación

El hecho de que los números reales, a diferencia de muchos otros campos, constituyan un campo ordenado produce una estructura de orientación en R n . Cualquier mapa lineal de rango completo de R n a sí mismo conserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si uno permuta coordenadas (o, en otras palabras, elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación.

Los difeomorfismos de R n o dominios en él, en virtud de evitar el jacobiano cero, también se clasifican en preservación de orientación e inversión de orientación. Tiene importantes consecuencias para la teoría de las formas diferenciales, cuyas aplicaciones incluyen la electrodinámica.

Otra manifestación de esta estructura es que la reflexión puntual en R n tiene diferentes propiedades dependiendo de la uniformidad de n. Para n pares conserva la orientación, mientras que para n impares se invierte (ver también rotación incorrecta).

Espacio afinado

R n entendido como un espacio afín es el mismo espacio, donde R n como espacio vectorial actúa mediante traducciones. Por el contrario, un vector debe entenderse como una "diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrada por un segmento de línea dirigida que conecta dos puntos. La distinción dice que no hay una elección canónica de dónde debe ir el origen en un espacio n afín, porque se puede traducir a cualquier parte.

Convexidad

En un espacio vectorial real, como R n , se puede definir un cono convexo, que contiene todas las combinaciones lineales no negativas de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es un conjunto convexo, que permite solo combinaciones convexas (combinaciones lineales no negativas que suman 1).

En el lenguaje del álgebra universal, un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal R ∞ de secuencias finitas de coeficientes, correspondientes a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de secuencias finitas que suman 1), un cono es un álgebra sobre el ortante universal (de secuencias finitas de números no negativos), y un conjunto convexo es un álgebra sobre el símplex universal (de secuencias finitas de números no negativos que suman 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".

Otro concepto del análisis convexo es una función convexa de R n a números reales, que se define a través de una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de valores en esos puntos con los mismos coeficientes.

Espacio euclidiano

El producto punto

x⋅y = ∑i = 1nxiyi = x1y1 + x2y2 + ⋯ + xnyn {\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i } = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}}

define la norma | x | = √ xx en el espacio vectorial R n . Si cada vector tiene su norma euclidiana, entonces, para cualquier par de puntos, la distancia

d (x, y) = ‖x − y‖ = ∑i = 1n (xi − yi) 2 {\ displaystyle d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}}

está definido, proporcionando una estructura de espacio métrico en R n además de su estructura afín.

En cuanto a la estructura del espacio vectorial, el producto punto y la distancia euclidiana generalmente se supone que existen en R n sin explicaciones especiales. Sin embargo, el espacio n real y un espacio n euclídeo son objetos distintos, estrictamente hablando. Cualquier espacio n euclidiano tiene un sistema de coordenadas donde el producto punto y la distancia euclidiana tienen la forma que se muestra arriba, llamada cartesiana . Pero hay muchos sistemas de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano.

Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclidiana define la estructura euclidiana estándar en R n , pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma cuadrática positiva-definida q define su propia "distancia" √ q ( x - y ), pero no es muy diferente de la euclidiana en el sentido de que

∃C1> 0, ∃C2> 0, ∀x, y∈Rn: C1d (x, y) ≤q (x − y) ≤C2d (x, y). {\ Displaystyle \ exist C_ {1}> 0, \ \ existe C_ {2}> 0, \ \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: C_ {1} d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ leq {\ sqrt {q (\ mathbf {x} - \ mathbf {y})}} \ leq C_ {2} d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}).}

Tal cambio de la métrica conserva algunas de sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de ser un espacio métrico completo. Esto también implica que cualquier transformación lineal de rango completo de R n , o su transformación afín, no magnifica las distancias más que con algunos C 2 fijos, y no hace distancias más pequeñas que 1 ∕ C 1 veces, un número finito fijo veces más pequeño .

La equivalencia de funciones métricas antes mencionada sigue siendo válida si √ q ( x - y ) se reemplaza por M ( x - y ), donde M es cualquier función homogénea positiva convexa de grado 1, es decir, una norma vectorial (consulte la distancia de Minkowski para ver ejemplos útiles) . Debido a este hecho de que cualquier métrica "natural" en R n no es especialmente diferente de la métrica euclidiana, R n no siempre se distingue de un espacio n euclidiano incluso en trabajos matemáticos profesionales.

En geometría algebraica y diferencial

Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea R n , esta opción es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial.

Por otro lado, los teoremas de inclusión de Whitney establecen que cualquier colector m-dimensional real diferenciable puede integrarse en R 2 m .

Otras apariencias

Otras estructuras consideradas en R n incluyen la de un espacio pseudoeuclidiano, la estructura simpléctica (par n) y la estructura de contacto (n impar). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse de manera libre de coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente simples) en coordenadas.

R n es también un subespacio vectorial real de C n que es invariable para la conjugación compleja; ver también complexificación.

Politopes en R n

Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios R n , para cualquier n, y se pueden usar para visualizar cualquier sistema de coordenadas afines en un espacio n real. Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas ( x 1, x 2, ..., x n ) donde cada xk toma uno de los dos únicos valores, generalmente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números en lugar de 0 y 1, por ejemplo −1 y 1. Un n-hipercubo puede considerarse como el producto cartesiano de n intervalos idénticos (como el intervalo de unidades) en la línea real. Como un subconjunto n-dimensional se puede describir con un sistema de 2 n desigualdades:

0≤x1≤1 ⋮ 0≤xn≤1 {\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {matrix} 0 \ leq x_ {1} \ leq 1 \\\ vdots \\ 0 \ leq x_ {n} \ leq 1 \ end {matriz}}} (para) | x1 | ≤1 ⋮ | xn | ≤1 {\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {matrix} | x_ {1} | \ leq 1 \\\ vdots \\ | x_ {n} | \ leq 1 \ end {matrix }}} (para )

Cada vértice del politopo cruzado tiene, para algunos k, la coordenada xk igual a ± 1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (de modo que es el késimo vector base estándar hasta el signo). Este es un politopo dual de hipercubo. Como un subconjunto n-dimensional se puede describir con una desigualdad única que utiliza la operación de valor absoluto:

∑k = 1n | xk | ≤1, {\ displaystyle \ sum \ limites _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | \ leq 1 \ ,,}

pero esto también se puede expresar con un sistema de 2 n desigualdades lineales.

El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el simplex estándar, cuyos vértices son n vectores básicos estándar y el origen (0, 0, ..., 0). Como un subconjunto n-dimensional se describe con un sistema de n + 1 desigualdades lineales:

0≤x1 ⋮ 0≤xn∑k = 1nxk≤1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 \ leq x_ {1} \\\ vdots \\ 0 \ leq x_ {n} \\\ sum \ limits _ { k = 1} ^ {n} x_ {k} \ leq 1 \ end {matriz}}}

El reemplazo de todos los "≤" con "" da interiores de estos politopos.

Propiedades topológicas

La estructura topológica de R n (llamada topología estándar , topología euclidiana o topología habitual ) se puede obtener no solo del producto cartesiano. También es idéntico a la topología natural inducida por la métrica euclidiana discutida anteriormente: un conjunto está abierto en la topología euclidiana si y solo si contiene una bola abierta alrededor de cada uno de sus puntos. Además, R n es un espacio topológico lineal (consulte la continuidad de los mapas lineales más arriba), y solo hay una topología posible (no trivial) compatible con su estructura lineal. Como hay muchos mapas lineales abiertos de R n a sí mismo que no son isometrías, puede haber muchas estructuras euclidianas en R n que corresponden a la misma topología. En realidad, no depende mucho incluso de la estructura lineal: hay muchos diffeomorfismos no lineales (y otros homeomorfismos) de R n sobre sí mismo, o sus partes, como una bola abierta euclidiana o el interior de un hipercubo).

R n tiene la dimensión topológica n. Un resultado importante en la topología de R n , que está lejos de ser superficial, es la invariancia de dominio de Brouwer. Cualquier subconjunto de R n (con su topología de subespacio) que es homeomorfo a otro subconjunto abierto de R n está abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que R m no es homeomorfo a R n si mn , un resultado intuitivamente "obvio" que, sin embargo, es difícil de probar.

A pesar de la diferencia en la dimensión topológica, y contrariamente a una percepción ingenua, es posible mapear un espacio real de menor dimensión de forma continua y de manera subjetiva en R n . Es posible una curva de relleno de espacio continua (aunque no uniforme) (una imagen de R 1).

Ejemplos

Vector de columna vacía
el único elemento de R 0
R 1

n ≤ 1

Los casos de 0 ≤ n ≤ 1 no ofrecen nada nuevo: R 1 es la línea real, mientras que R 0 (el espacio que contiene el vector de la columna vacía) es un singleton, entendido como un espacio vectorial cero. Sin embargo, es útil incluirlos como casos triviales de teorías que describen diferentes n.

n = 2

n = 3

Cubo (el hipercubo) y octaedro (el politopo cruzado) de R 3. Las coordenadas no se muestran

n = 4

R 4 se puede imaginar usando el hecho de que 16 puntos ( x 1, x 2, x 3, x 4), donde cada xk es 0 o 1, son vértices de un tesseract (en la foto), el 4 hipercubo (ver arriba) )

El primer uso importante de R 4 es un modelo de espacio-tiempo: tres coordenadas espaciales más una temporal. Esto generalmente se asocia con la teoría de la relatividad, aunque se usaron cuatro dimensiones para tales modelos desde Galilei. Sin embargo, la elección de la teoría lleva a una estructura diferente: en la relatividad galileana la coordenada t es privilegiada, pero en la relatividad einsteiniana no lo es. La relatividad especial se establece en el espacio Minkowski. La relatividad general utiliza espacios curvos, que pueden considerarse R 4 con una métrica curva para la mayoría de los propósitos prácticos. Ninguna de estas estructuras proporciona una métrica (positiva-definida) en R 4.

Euclidean R 4 también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo debido a su relación con los cuaterniones, un álgebra real de 4 dimensiones. Vea rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones para obtener información.

En geometría diferencial, n = 4 es el único caso en el que R n admite una estructura diferencial no estándar: ver R4 exótico.

Generalizaciones

Para un conjunto dado, X y un número natural N, XN {\ displaystyle X ^ {N}} es el "espacio de coordenadas N-dimensional en X" cerrado bajo la suma de componentes y la multiplicación escalar.