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Valor presente

En economía y finanzas, el valor presente ( PV ), también conocido como valor actual descontado , es el valor de un flujo de ingresos esperado determinado a la fecha de la valoración. El valor presente siempre es menor o igual que el valor futuro porque el dinero tiene potencial para generar intereses, una característica conocida como el valor temporal del dinero, excepto en tiempos de tasas de interés negativas, cuando el valor presente será mayor que el futuro valor. El valor del tiempo se puede describir con la frase simplificada, "Un dólar hoy vale más que un dólar mañana". Aquí, "vale más" significa que su valor es mayor. Un dólar hoy vale más que un dólar mañana porque el dólar puede invertirse y ganar intereses por un día, haciendo que el total se acumule a un valor de más de un dólar para mañana. El interés se puede comparar con el alquiler. Del mismo modo que el inquilino paga el alquiler al propietario sin que se transfiera la propiedad del activo, el prestatario paga los intereses al prestamista que obtiene acceso al dinero por un tiempo antes de devolverlo. Al permitir que el prestatario tenga acceso al dinero, el prestamista ha sacrificado el valor de cambio de este dinero y se lo compensa en forma de intereses. El monto inicial de los fondos prestados (el valor presente) es menor que el monto total de dinero pagado al prestamista.

Los cálculos del valor presente, y de manera similar, los cálculos del valor futuro, se utilizan para valorar préstamos, hipotecas, anualidades, fondos de amortización, perpetuidades, bonos y más. Estos cálculos se usan para hacer comparaciones entre flujos de efectivo que no ocurren en momentos simultáneos, ya que las fechas deben ser consistentes para hacer comparaciones entre valores. Al decidir entre proyectos en los que invertir, la elección se puede hacer comparando los valores actuales respectivos de dichos proyectos mediante el descuento de los flujos de ingresos esperados a la tasa de interés o tasa de rendimiento del proyecto correspondiente. Debe elegirse el proyecto con el valor presente más alto, es decir, el más valioso en la actualidad.

Años de compra

El método tradicional de valorar los flujos de ingresos futuros como una suma de capital actual es multiplicar el flujo de efectivo anual promedio esperado por un múltiplo, conocido como "compra de años". Por ejemplo, al vender a un tercero una propiedad arrendada a un inquilino bajo un contrato de arrendamiento de 99 años con un alquiler de $ 10,000 por año, se podría llegar a un acuerdo en "20 años de compra", lo que valoraría el arrendamiento en 20 * $ 10,000, es decir, $ 200,000. Esto equivale a un valor presente descontado a perpetuidad al 5%. Para una inversión más arriesgada, el comprador exigiría pagar un número menor de años de compra. Este fue el método utilizado, por ejemplo, por la corona inglesa para establecer los precios de reventa de las mansiones incautadas en la Disolución de los Monasterios a principios del siglo XVI. El uso estándar fue de 20 años de compra.

Antecedentes

Si se le ofrece elegir entre $ 100 hoy o $ 100 en un año, y hay una tasa de interés real positiva durante todo el año, ceteris paribus , una persona racional elegirá $ 100 hoy. Esto es descrito por los economistas como preferencia de tiempo. La preferencia de tiempo se puede medir mediante la subasta de una garantía libre de riesgo, como una letra del Tesoro de los Estados Unidos. Si una nota de $ 100 con un cupón cero, pagadero en un año, se vende por $ 80 ahora, entonces $ 80 es el valor presente de la nota que valdrá $ 100 al año a partir de ahora. Esto se debe a que el dinero puede depositarse en una cuenta bancaria o en cualquier otra inversión (segura) que devolverá intereses en el futuro.

Un inversor que tiene algo de dinero tiene dos opciones: gastarlo en este momento o ahorrarlo. Pero la compensación financiera por salvarlo (y no gastarlo) es que el valor monetario se acumulará a través del interés compuesto que él o ella recibirá de un prestatario (la cuenta bancaria en la que tiene el dinero depositado).

Por lo tanto, para evaluar el valor real de una cantidad de dinero hoy después de un período de tiempo determinado, los agentes económicos aumentan la cantidad de dinero a una tasa (de interés) determinada. La mayoría de los cálculos actuariales utilizan la tasa de interés libre de riesgo que corresponde a la tasa mínima garantizada provista por la cuenta de ahorro de un banco, por ejemplo, sin asumir ningún riesgo de incumplimiento por parte del banco para devolver el dinero al titular de la cuenta a tiempo. Para comparar el cambio en el poder adquisitivo, se debe utilizar la tasa de interés real (tasa de interés nominal menos tasa de inflación).

La operación de evaluar un valor presente en el valor futuro se llama capitalización (¿cuánto valdrán $ 100 hoy en 5 años?). La operación inversa, que evalúa el valor presente de una cantidad futura de dinero, se denomina descuento (¿cuánto valdrán hoy $ 100 recibidos en 5 años, en una lotería, por ejemplo?).

Se deduce que si uno tiene que elegir entre recibir $ 100 hoy y $ 100 en un año, la decisión racional es elegir los $ 100 hoy. Si el dinero se va a recibir en un año y suponiendo que la tasa de interés de la cuenta de ahorros sea del 5%, se le debe ofrecer a la persona al menos $ 105 en un año para que las dos opciones sean equivalentes (ya sea recibir $ 100 hoy o $ 105 en uno año). Esto se debe a que si se depositan $ 100 en una cuenta de ahorros, el valor será de $ 105 después de un año, nuevamente sin asumir el riesgo de perder el monto inicial por incumplimiento bancario.

Tasas de interés

El interés es la cantidad adicional de dinero ganado entre el comienzo y el final de un período de tiempo. El interés representa el valor temporal del dinero, y puede considerarse como el alquiler que se requiere de un prestatario para utilizar el dinero de un prestamista. Por ejemplo, cuando una persona solicita un préstamo bancario, se le cobran intereses. Alternativamente, cuando un individuo deposita dinero en un banco, el dinero gana intereses. En este caso, el banco es el prestatario de los fondos y es responsable de acreditar los intereses al titular de la cuenta. Del mismo modo, cuando un individuo invierte en una compañía (a través de bonos corporativos o acciones), la compañía está pidiendo prestados fondos y debe pagar intereses al individuo (en forma de pagos de cupones, dividendos o apreciación del precio de las acciones). La tasa de interés es el cambio, expresado como un porcentaje, en la cantidad de dinero durante un período compuesto. Un período de capitalización es el período de tiempo que debe transcurrir antes de que se abonen los intereses o se agreguen al total. Por ejemplo, los intereses que se capitalizan anualmente se acreditan una vez al año, y el período de capitalización es de un año. El interés compuesto trimestralmente se acredita cuatro veces al año, y el período de capitalización es de tres meses. Un período de capitalización puede ser de cualquier período de tiempo, pero algunos períodos comunes son anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente, diariamente e incluso continuamente.

Hay varios tipos y términos asociados con las tasas de interés:

  • Interés compuesto, interés que aumenta exponencialmente en períodos posteriores,
  • Interés simple, interés aditivo que no aumenta
  • Tasa de interés efectiva, el equivalente efectivo en comparación con múltiples períodos de interés compuesto
  • Interés anual nominal, la tasa de interés anual simple de múltiples períodos de interés
  • Tasa de descuento, una tasa de interés inversa al realizar cálculos en reversa
  • Interés compuesto continuo, el límite matemático de una tasa de interés con un período de tiempo cero.
  • Tasa de interés real, que explica la inflación.

Cálculo

La operación de evaluar una suma actual de dinero en algún momento en el futuro se llama capitalización (¿cuánto valdrán 100 hoy en cinco años?). La operación inversa, que evalúa el valor presente de una cantidad futura de dinero, se denomina descuento (¿cuánto valdrán hoy 100 en cinco años?).

Las hojas de cálculo comúnmente ofrecen funciones para calcular el valor presente. En Microsoft Excel, hay funciones de valor presente para pagos únicos - "= NPV (...)", y series de pagos periódicos iguales - "= PV (...)". Los programas calcularán el valor presente de manera flexible para cualquier flujo de efectivo y tasa de interés, o para un programa de diferentes tasas de interés en diferentes momentos.

Valor presente de una suma global

El modelo de valoración actual más comúnmente utilizado utiliza el interés compuesto. La fórmula estándar es:

PV = C (1 + i) n {\ displaystyle PV = {\ frac {C} {(1 + i) ^ {n}}} \,}

Donde C {\ displaystyle \, C \,} es la cantidad futura de dinero que debe descontarse, n {\ displaystyle \, n \,} es el número de períodos compuestos entre la fecha actual y la fecha en que vale la suma C {\ displaystyle \, C \,}, i {\ displaystyle \, i \,} es la tasa de interés para un período compuesto (el final de un período compuesto es cuando se aplica el interés, por ejemplo, anualmente, semestralmente, trimestralmente , mensual, diario). La tasa de interés, i {\ displaystyle \, i \,}, se da como un porcentaje, pero se expresa como un decimal en esta fórmula.

A menudo, vn = (1 + i) −n {\ displaystyle v ^ {n} = \, (1 + i) ^ {- n}} se denomina Factor de valor presente

Esto también se encuentra en la fórmula para el valor futuro con tiempo negativo.

Por ejemplo, si va a recibir $ 1000 en cinco años, y la tasa de interés anual efectiva durante este período es del 10% (o 0,10), entonces el valor presente de esta cantidad es

PV = $ 1000 (1 + 0.10) 5 = $ 620.92 {\ displaystyle PV = {\ frac {\ $ 1000} {(1 + 0.10) ^ {5}}} = \ $ 620.92 \,}

La interpretación es que para una tasa de interés anual efectiva del 10%, un individuo sería indiferente a recibir $ 1000 en cinco años, o $ 620.92 hoy.

El poder de compra en el dinero de hoy de una cantidad C {\ displaystyle \, C \,} de dinero, n {\ displaystyle \, n \,} años en el futuro, se puede calcular con la misma fórmula, donde en este caso i {\ displaystyle \, i \,} es una tasa de inflación futura supuesta.

Valor presente neto de una corriente de flujos de efectivo

Un flujo de efectivo es una cantidad de dinero que se paga o se recibe, diferenciada por un signo negativo o positivo, al final de un período. Convencionalmente, los flujos de efectivo que se reciben se denotan con un signo positivo (el efectivo total ha aumentado) y los flujos de efectivo que se pagan se denotan con un signo negativo (el efectivo total ha disminuido). El flujo de caja para un período representa el cambio neto en dinero de ese período. Calcular el valor actual neto, NPV {\ displaystyle \, NPV \,}, de un flujo de flujos de efectivo consiste en descontar cada flujo de efectivo al presente, utilizando el factor de valor presente y el número apropiado de períodos de capitalización, y combinando estos valores .

Por ejemplo, si un flujo de flujos de efectivo consiste en + $ 100 al final del período uno, - $ 50 al final del período dos y + $ 35 al final del período tres, y la tasa de interés por período compuesto es del 5% ( 0.05), entonces el valor presente de estos tres flujos de efectivo son:

PV1 = $ 100 (1.05) 1 = $ 95.24 {\ displaystyle PV_ {1} = {\ frac {\ $ 100} {(1.05) ^ {1}}} = \ $ 95.24 \,} PV2 = - $ 50 (1.05) 2 = - $ 45.35 {\ displaystyle PV_ {2} = {\ frac {- \ $ 50} {(1.05) ^ {2}}} = - \ $ 45.35 \,} PV3 = $ 35 (1.05) 3 = $ 30.23 {\ displaystyle PV_ {3} = {\ frac {\ $ 35} {(1.05) ^ {3}}} = \ $ 30.23 \,} respectivamente

Por lo tanto, el valor presente neto sería:

VPN = PV1 + PV2 + PV3 = 100 (1.05) 1 + −50 (1.05) 2 + 35 (1.05) 3 = 95.24−45.35 + 30.23 = 80.12, {\ displaystyle NPV = PV_ {1} + PV_ {2} + PV_ {3} = {\ frac {100} {(1.05) ^ {1}}} + {\ frac {-50} {(1.05) ^ {2}}} + {\ frac {35} {(1.05) ^ {3}}} = 95.24-45.35 + 30.23 = 80.12,}

Hay algunas consideraciones que deben hacerse.

  • Los períodos pueden no ser consecutivos. Si este es el caso, los exponentes cambiarán para reflejar el número apropiado de períodos
  • Las tasas de interés por período pueden no ser las mismas. El flujo de caja debe descontarse usando la tasa de interés para el período apropiado: si la tasa de interés cambia, la suma debe descontarse al período en el que ocurre el cambio usando la segunda tasa de interés, y luego descontarse nuevamente al presente usando la primera tasa de interés . Por ejemplo, si el flujo de caja para el período uno es de $ 100 y $ 200 para el período dos, y la tasa de interés para el primer período es del 5% y del 10% para el segundo, entonces el valor presente neto sería:
VPN = 100 (1.05) −1 + 200 (1.10) −1 (1.05) −1 = 100 (1.05) 1 + 200 (1.10) 1 (1.05) 1 = $ 95.24 + $ 173.16 = $ 268.40 {\ displaystyle NPV = 100 \, (1.05) ^ {- 1} +200 \, (1.10) ^ {- 1} \, (1.05) ^ {- 1} = {\ frac {100} {(1.05) ^ {1}}} + {\ frac {200} {(1.10) ^ {1} (1.05) ^ {1}}} = \ $ 95.24 + \ $ 173.16 = \ $ 268.40}
  • La tasa de interés necesariamente debe coincidir con el período de pago. De lo contrario, se debe modificar el período de pago o la tasa de interés. Por ejemplo, si la tasa de interés dada es la tasa de interés anual efectiva, pero los flujos de efectivo se reciben (y / o pagan) trimestralmente, se debe calcular la tasa de interés por trimestre. Esto se puede hacer convirtiendo la tasa de interés anual efectiva, i {\ displaystyle \, i \,}, a la tasa de interés anual nominal compuesta trimestralmente:
(1 + i) = (1 + i44) 4 {\ displaystyle (1 + i) = \ left (1 + {\ frac {i ^ {4}} {4}} \ right) ^ {4}}

Aquí, i4 {\ displaystyle i ^ {4}} es la tasa de interés anual nominal, compuesta trimestralmente, y la tasa de interés por trimestre es i44 {\ displaystyle {\ frac {i ^ {4}} {4}}}

Valor presente de una anualidad

Muchos arreglos financieros (incluidos bonos, otros préstamos, arrendamientos, salarios, cuotas de membresía, anualidades que incluyen anualidad inmediata y vencimiento de anualidad, cargos de depreciación en línea recta) estipulan calendarios de pago estructurados; pagos de la misma cantidad a intervalos regulares de tiempo. Tal arreglo se llama anualidad. Las expresiones para el valor presente de dichos pagos son sumas de series geométricas.

Hay dos tipos de anualidades: una anualidad inmediata y una anualidad vencida. Para una anualidad inmediata, se reciben n {\ displaystyle \, n \,} pagos (o se pagan) al final de cada período, en los tiempos 1 a n {\ displaystyle \, n \,}, mientras que para una anualidad vencida, n {\ displaystyle \, n \,} los pagos se reciben (o se pagan) al comienzo de cada período, a veces de 0 a n − 1 {\ displaystyle \, n-1 \,}. Esta sutil diferencia debe tenerse en cuenta al calcular el valor presente.

Una anualidad vencida es una anualidad inmediata con un período más de devengo de intereses. Por lo tanto, los dos valores actuales difieren en un factor de (1 + i) {\ displaystyle (1 + i)}:

PVannuity debido = PVannuity inmediato (1 + i) {\ displaystyle PV _ {\ text {anualidad vencida}} = PV _ {\ text {anualidad inmediata}} (1 + i) \, \!}

El valor presente de una anualidad inmediata es el valor en el momento 0 del flujo de flujos de efectivo:

PV = ∑k = 1nC (1 + i) k = C, (1) {\ displaystyle PV = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {C} {(1 + i) ^ {k }}} = C \ izquierda, \ qquad (1)}

dónde:

n {\ displaystyle \, n \,} = número de períodos, C {\ displaystyle \, C \,} = cantidad de flujos de efectivo, i {\ displaystyle \, i \,} = tasa de interés periódica efectiva o tasa de rendimiento Una aproximación para los cálculos de anualidades y préstamos.

La fórmula anterior (1) para cálculos inmediatos de anualidades ofrece poca información para el usuario promedio y requiere el uso de algún tipo de maquinaria informática. Hay una aproximación que es menos intimidante, más fácil de calcular y ofrece una idea para el no especialista. Es dado por

C≈PV (1n + 23i) {\ displaystyle C \ aprox PV \ left ({\ frac {1} {n}} + {\ frac {2} {3}} i \ right)}

Donde, como arriba, C es el pago de la anualidad, PV es el principal, n es el número de pagos, comenzando al final del primer período, e i es la tasa de interés por período. Equivalentemente, C es el reembolso periódico del préstamo para un préstamo de PV que se extiende durante n períodos a una tasa de interés, i. La fórmula es válida (para positivo n, i) para ni≤3. Para completar, para ni≥3 la aproximación es C≈PVi {\ displaystyle C \ approx PVi}.

La fórmula puede, en algunas circunstancias, reducir el cálculo a una aritmética mental sola. Por ejemplo, ¿cuáles son los reembolsos (aproximados) de un préstamo de PV = $ 10,000 reembolsados ​​anualmente durante n = diez años con un interés del 15% (i = 0.15)? La fórmula aproximada aplicable es C ≈ 10,000 * (1/10 + (2/3) 0.15) = 10,000 * (0.1 + 0.1) = 10,000 * 0.2 = $ 2000 pa por aritmética mental solo. La verdadera respuesta es $ 1993, muy cerca.

La aproximación general es precisa dentro de ± 6% (para todos los n≥1) para las tasas de interés 0≤i≤0.20 y dentro de ± 10% para las tasas de interés 0.20≤i≤0.40. Sin embargo, está destinado solo para cálculos "aproximados".

Valor presente de una perpetuidad

Una perpetuidad se refiere a pagos periódicos, cuentas por cobrar indefinidamente, aunque existen pocos instrumentos de este tipo. El valor presente de una perpetuidad se puede calcular tomando el límite de la fórmula anterior cuando n se aproxima al infinito.

PV = Ci. (2) {\ displaystyle PV \, = \, {\ frac {C} {i}}. \ Qquad (2)}

La fórmula (2) también se puede encontrar restando de (1) el valor presente de una perpetuidad retrasada n períodos, o directamente sumando el valor presente de los pagos

PV = ∑k = 1∞C (1 + i) k = Ci, i> 0, {\ displaystyle PV = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C} {(1 + i ) ^ {k}}} = {\ frac {C} {i}}, \ qquad i> 0,}

que forman una serie geométrica.

Una vez más, hay una distinción entre una perpetuidad inmediata, cuando los pagos recibidos al final del período, y una vencimiento a perpetuidad, el pago recibido al comienzo de un período. Y de manera similar a los cálculos de anualidad, una perpetuidad debida y una perpetuidad inmediata difieren en un factor de (1 + i) {\ displaystyle (1 + i)}:

PVperpetuity debido = PVperpetuity inmediato (1 + i) {\ displaystyle PV _ {\ text {perpetuity due}} = PV _ {\ text {perpetuity inmediato}} (1 + i) \, \!} PV de un bono

Una corporación emite un bono, una garantía de deuda que genera intereses, a un inversionista para recaudar fondos. El bono tiene un valor nominal, F {\ displaystyle F}, tasa de cupón, r {\ displaystyle r} y fecha de vencimiento que a su vez genera el número de períodos hasta que la deuda vence y debe pagarse. Un tenedor de bonos recibirá pagos de cupones semestralmente (a menos que se especifique lo contrario) en la cantidad de Fr {\ displaystyle Fr}, hasta que venza el bono, momento en el cual el tenedor de bonos recibirá el pago final del cupón y el valor nominal de un bono, F (1 + r) {\ displaystyle F (1 + r)}. El valor presente de un bono es el precio de compra. El precio de compra es igual al valor nominal del bono si la tasa del cupón es igual a la tasa de interés actual del mercado, y en este caso, se dice que el bono se vende 'a la par'. Si la tasa del cupón es menor que la tasa de interés del mercado, el precio de compra será menor que el valor nominal del bono, y se dice que el bono se vendió 'con descuento' o por debajo del par. Finalmente, si la tasa del cupón es mayor que la tasa de interés del mercado, el precio de compra será mayor que el valor nominal del bono, y se dice que el bono se vendió "con una prima" o superior a la par. El precio de compra se puede calcular como:

PV = {\ displaystyle PV = \ left} + F (1 + i) −n {\ displaystyle + F (1 + i) ^ {- n}} Detalles técnicos

El valor presente es aditivo. El valor presente de un paquete de flujos de efectivo es la suma del valor presente de cada uno.

De hecho, el valor presente de un flujo de efectivo a una tasa de interés constante es matemáticamente un punto en la transformación de Laplace de ese flujo de efectivo, evaluado con la variable de transformación (generalmente denominada "s") igual a la tasa de interés. La transformación completa de Laplace es la curva de todos los valores presentes, representada en función de la tasa de interés. Para un tiempo discreto, donde los pagos están separados por largos períodos de tiempo, la transformación se reduce a una suma, pero cuando los pagos están en curso de forma casi continua, la matemática de las funciones continuas se puede usar como una aproximación.

Estos cálculos deben aplicarse con cuidado, ya que existen supuestos subyacentes:

  • Que no es necesario tener en cuenta la inflación de precios o, alternativamente, que el costo de la inflación se incorpora a la tasa de interés.
  • Que la probabilidad de recibir los pagos es alta o, alternativamente, que el riesgo de incumplimiento se incorpora a la tasa de interés.

Vea el valor del dinero en el tiempo para más discusión.

Variantes / enfoques

Hay principalmente dos sabores de valor presente. Siempre que haya incertidumbres tanto en el momento como en la cantidad de los flujos de efectivo, el enfoque del valor presente esperado a menudo será la técnica adecuada.

  • Enfoque tradicional del valor presente : en este enfoque, se utilizará un conjunto único de flujos de efectivo estimados y una tasa de interés única (proporcional al riesgo, generalmente un promedio ponderado de los componentes del costo) para estimar el valor razonable.
  • Enfoque del valor presente esperado : en este enfoque, se utilizan múltiples escenarios de flujos de efectivo con probabilidades diferentes / esperadas y una tasa libre de riesgo ajustada al crédito para estimar el valor razonable.

Elección de tasa de interés

La tasa de interés utilizada es la tasa de interés libre de riesgo si no hay riesgos involucrados en el proyecto. La tasa de rendimiento del proyecto debe ser igual o superior a esta tasa de rendimiento o sería mejor invertir el capital en estos activos libres de riesgo. Si hay riesgos involucrados en una inversión, esto puede reflejarse mediante el uso de una prima de riesgo. La prima de riesgo requerida se puede encontrar comparando el proyecto con la tasa de rendimiento requerida de otros proyectos con riesgos similares. Por lo tanto, es posible que los inversores tengan en cuenta cualquier incertidumbre relacionada con diversas inversiones.

Método de valoración del valor presente

Un inversor, el prestamista de dinero, debe decidir el proyecto financiero en el que invertir su dinero, y el valor presente ofrece un método de decisión. Un proyecto financiero requiere un desembolso inicial de dinero, como el precio de las acciones o el precio de un bono corporativo. El proyecto afirma que devuelve el desembolso inicial, así como algunos excedentes (por ejemplo, intereses o flujos de efectivo futuros). Un inversor puede decidir en qué proyecto invertir invirtiendo el valor presente de cada proyecto (usando la misma tasa de interés para cada cálculo) y luego comparándolos. El proyecto con el valor presente más pequeño, el desembolso inicial mínimo, se elegirá porque ofrece el mismo rendimiento que los otros proyectos por la menor cantidad de dinero.