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Método de límite sumergido

En la dinámica de fluidos computacional, el método de límite inmerso originalmente se refería a un enfoque desarrollado por Charles Peskin en 1972 para simular interacciones de estructura de fluido (fibra). El tratamiento del acoplamiento de las deformaciones de la estructura y el flujo del fluido plantea una serie de problemas desafiantes para las simulaciones numéricas (el límite elástico cambia el flujo del fluido y el fluido mueve el límite elástico simultáneamente). En el método de límite sumergido, el fluido se representa en una coordenada euleriana y la estructura se representa en una coordenada lagrangiana. Para los fluidos newtonianos regidos por las ecuaciones incomprensibles de Navier-Stokes, las ecuaciones de fluidos son

ρ (∂u (x, t) ∂t + u⋅∇u) = - ∇p + μΔu (x, t) + f (x, t) {\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial { u} ({x}, t)} {\ partial {t}}} + {u} \ cdot \ nabla {u} \ right) = - \ nabla p + \ mu \, \ Delta u (x, t) + f (x, t)}

y en caso de fluidos incompresibles (suponiendo una densidad constante) tenemos la condición

∇⋅u = 0. {\ Displaystyle \ nabla \ cdot u = 0. \,}

Las estructuras sumergidas se representan típicamente como una colección de fibras unidimensionales, denotadas por Γ {\ displaystyle \ Gamma}. Cada fibra se puede ver como una curva paramétrica X (s, t) {\ displaystyle X (s, t)} donde s {\ displaystyle s} es el parámetro y t {\ displaystyle t} es el tiempo. La física de la fibra se representa a través de la distribución de fuerza de la fibra F (s, t) {\ displaystyle F (s, t)}. Las fuerzas de resorte, la resistencia a la flexión o cualquier otro tipo de comportamiento se pueden incorporar a este término. La fuerza ejercida por la estructura sobre el fluido se interpola como un término fuente en la ecuación de momento utilizando

f (x, t) = ∫ΓF (s, t) δ (x − X (s, t)) ds, {\ displaystyle f (x, t) = \ int _ {\ Gamma} F (s, t) \, \ delta {\ big (} xX (s, t) {\ big)} \, ds,}

donde δ {\ displaystyle \ delta} es la función Dirac δ. El forzado puede extenderse a múltiples dimensiones para modelar superficies elásticas o sólidos tridimensionales. Asumiendo una estructura sin masa, la fibra elástica se mueve con la velocidad del fluido local y puede ser interpolada a través de la función delta

∂X (s, t) ∂t = u (X, t) = ∫Ωu (x, t) δ (x − X (s, t)) dx, {\ displaystyle {\ frac {\ parcial X (s, t)} {\ partial t}} = u (X, t) = \ int _ {\ Omega} u (x, t) \, \ delta {\ big (} xX (s, t) {\ big)} \, dx,}

donde Ω {\ displaystyle \ Omega} denota todo el dominio de fluido. La discreción de estas ecuaciones se puede hacer asumiendo una rejilla de Eulerian en el fluido y una rejilla de Lagrangian separada en la fibra. Las aproximaciones de la distribución Delta por funciones más suaves nos permitirán interpolar entre las dos cuadrículas. Cualquier solucionador de fluidos existente se puede acoplar a un solucionador para las ecuaciones de fibra para resolver las ecuaciones de Límite Inmerso. Se han aplicado variantes de este enfoque básico para simular una amplia variedad de sistemas mecánicos que involucran estructuras elásticas que interactúan con los flujos de fluidos.

Desde el desarrollo original de este método por Peskin, se han desarrollado una variedad de enfoques para simular el flujo sobre cuerpos inmersos complicados en rejillas que no se ajustan a la superficie del cuerpo. Estos incluyen métodos como el método de interfaz sumergida, el método de cuadrícula cartesiana, el método de fluido fantasma y el método de celda de corte. Mittal e Iaccarino se refieren a todos estos (y otros métodos relacionados) como Métodos de límites inmersos y proporcionan varias categorizaciones de estos métodos. Desde el punto de vista de la implementación, clasifican los métodos de límites inmersos en métodos de forzamiento continuo y discreto . En el primero, se agrega un término de fuerza a las ecuaciones continuas de Navier-Stokes antes de la discretización, mientras que en el segundo, el forzamiento se aplica (explícita o implícitamente) a las ecuaciones discretizadas. Bajo esta taxonomía, el método original de Peskin es un método de forzamiento continuo , mientras que los métodos de rejilla cartesiana, celda de corte y fluido fantasma son métodos de forzamiento discretos .