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Espacio resistente

En un análisis complejo, los espacios Hardy (o clases Hardy ) Hp son ciertos espacios de funciones holomórficas en el disco de la unidad o en el medio plano superior. Fueron presentados por Frigyes Riesz (Riesz 1923), quien los nombró en honor a GH Hardy, debido al papel (Hardy 1915). En el análisis real, los espacios de Hardy son ciertos espacios de distribuciones en la línea real, que son (en el sentido de las distribuciones) valores límite de las funciones holomórficas de los espacios de Hardy complejos, y están relacionados con los espacios de análisis funcional de Lp . Para 1 ≤ p ≤ ∞ estos espacios Hardy reales Hp son ciertos subconjuntos de Lp , mientras que para p 1 los espacios Lp tienen algunas propiedades indeseables, y los espacios Hardy se comportan mucho mejor.

También hay generalizaciones de dimensiones superiores, que consisten en ciertas funciones holomórficas en dominios de tubo en el caso complejo, o ciertos espacios de distribución en R n en el caso real.

Los espacios resistentes tienen varias aplicaciones en el análisis matemático mismo, así como en la teoría de control (como los métodos H ∞) y en la teoría de dispersión.

Espacios resistentes para el disco de la unidad

Para espacios de funciones holomórficas en el disco de la unidad abierta, el espacio Hardy H 2 consiste en las funciones f cuyo valor cuadrado medio en el círculo de radio r permanece limitado como r → 1 desde abajo.

Más generalmente, el espacio Hardy Hp para 0 p ∞ es la clase de funciones holomórficas f en el disco de la unidad abierta que satisface

sup0≤r 1 (12π∫02π | f (reiθ) | pdθ) 1p ∞. {\ displaystyle \ sup _ {0 \ leq r 1} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {p} \; \ mathrm {d} \ theta \ right) ^ { \ frac {1} {p}} \ infty.}

Esta clase Hp es un espacio vectorial. El número en el lado izquierdo de la desigualdad anterior es el espacio Hardy p -norm para f , denotado por ‖f‖Hp. {\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}}.} Es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando 0 p 1.

El espacio H ∞ se define como el espacio vectorial de las funciones holomorfas limitadas en el disco, con la norma

‖F‖H∞ = sup | z | 1 | f (z) |. {\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {| z | 1} \ left | f (z) \ right |.}

Para 0 p ≤ q ≤ ∞, la clase Hq es un subconjunto de Hp , y la forma Hp aumenta con p (es consecuencia de la desigualdad de Hölder que la forma Lp aumenta para medidas de probabilidad, es decir, medidas con total masa 1).

Espacios resistentes en el círculo de la unidad

Los espacios de Hardy definidos en la sección anterior también se pueden ver como ciertos subespacios vectoriales cerrados de los espacios complejos de Lp en el círculo unitario. Esta conexión es proporcionada por el siguiente teorema (Katznelson 1976, Thm 3.8): Dado fHp , con p ≥ 0, el límite radial

f ~ (eiθ) = limr → 1f (reiθ) {\ displaystyle {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ lim _ {r \ to 1} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right)}

existe para casi cada θ. La función f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}} pertenece al espacio Lp para el círculo unitario, y uno tiene que

‖F ~ ‖Lp = ‖f‖Hp. {\ Displaystyle \ | {\ tilde {f}} \ | _ {L ^ {p}} = \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}

Denotando el círculo unitario por T , y por Hp ( T ) el subespacio vectorial de Lp ( T ) que consiste en todas las funciones límite f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}}, cuando f varía en Hp , uno tiene que para p ≥ 1, (Katznelson 1976)

g∈Hp (T) si y solo si g∈Lp (T) y g ^ (n) = 0 para todos n 0, {\ displaystyle g \ in H ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ derecha) {\ text {if and only if}} g \ in L ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right) {\ text {and}} {\ hat {g}} (n) = 0 {\ text {para todos}} n 0,}

donde ĝ ( n ) son los coeficientes de Fourier de una función g integrable en el círculo unitario,

∀n∈Z, g ^ (n) = 12π∫02πg (eiϕ) e − inϕdϕ. {\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbf {Z}, \ \ \ {\ hat {g}} (n) = { \ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} g \ left (e ^ {i \ phi} \ right) e ^ {- in \ phi} \, \ mathrm { d} \ phi.}

El espacio Hp ( T ) es un subespacio cerrado de Lp ( T ). Como Lp ( T ) es un espacio de Banach (para 1 ≤ p ≤ ∞), también lo es Hp ( T ).

Lo anterior se puede cambiar. Dada una función f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}} ∈ Lp ( T ), con p ≥ 1, se puede recuperar una función (armónica) f en el disco de la unidad mediante el núcleo de Poisson Pr :

f (reiθ) = 12π∫02πPr (θ − ϕ) f ~ (eiϕ) dϕ, r 1, ​​{\ displaystyle f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} (\ theta - \ phi) {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ phi} \ right) \, \ mathrm {d} \ phi, \ quad r 1,}

yf pertenece a Hp exactamente cuando f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}} está en Hp ( T ). Suponiendo que f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}} está en Hp ( T ). es decir, que f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}} tiene coeficientes de Fourier ( an ) nZ con an = 0 por cada n 0, entonces el elemento f del espacio Hardy Hp asociado a f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}} es la función holomórfica

f (z) = ∑n = 0∞anzn, | z | 1. {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}, \ \ \ | z | 1.}

En las aplicaciones, esas funciones con coeficientes de Fourier negativos que desaparecen se interpretan comúnmente como las soluciones causales. Por lo tanto, se ve que el espacio H 2 se asienta naturalmente dentro del espacio L 2, y está representado por secuencias infinitas indexadas por N ; mientras que L 2 consiste en secuencias bi-infinitas indexadas por Z.

Conexión a espacios reales de Hardy en el círculo.

Cuando 1 ≤ p ∞, los espacios Hardy reales Hp discutidos más adelante en este artículo son fáciles de describir en el contexto actual. Una función real f en el círculo unitario pertenece al espacio Hardy real Hp ( T ) si es la parte real de una función en Hp ( T ), y una función compleja f pertenece al espacio Hardy real iff Re ( f ) y Im ( f ) pertenece al espacio (ver la sección sobre espacios Hardy reales a continuación). Por lo tanto, para 1 ≤ p ∞, el espacio Hardy real contiene el espacio Hardy, pero es mucho más grande, ya que no se impone ninguna relación entre la parte real e imaginaria de la función.

Para 0 p 1, herramientas tales como coeficientes de Fourier, integral de Poisson, función conjugada, ya no son válidas. Por ejemplo, considere la función

F (z) = 1 + z1 − z, | z | 1. {\ Displaystyle F (z) = {\ frac {1 + z} {1-z}}, \ quad | z | 1.}

Entonces F está en Hp por cada 0 p 1, y el límite radial

f (eiθ): = limr → 1F (reiθ) = icot⁡ (θ2). {\ displaystyle f (e ^ {i \ theta}): = \ lim _ {r \ to 1} F (re ^ {i \ theta}) = i \, \ cot ({\ tfrac {\ theta} {2}}).}

existe para ae θ y está en Hp ( T ), pero Re ( f ) es 0 en casi todas partes, por lo que ya no es posible recuperar F de Re ( f ). Como consecuencia de este ejemplo, uno ve que para 0 p 1, uno no puede caracterizar el Hp real ( T ) (definido a continuación) de la manera simple dada anteriormente, sino que debe usar la definición real usando funciones máximas, que es dado más adelante en algún lugar a continuación.

Para la misma función F , deje fr (eiθ) = F ( re iθ). El límite cuando r → 1 de Re ( fr ), en el sentido de distribuciones en el círculo, es un múltiplo distinto de cero de la distribución de Dirac en z = 1. La distribución de Dirac en un punto del círculo unitario pertenece a real- Hp ( T ) para cada p 1 (ver más abajo).

Factorización en funciones internas y externas (Beurling)

Para 0 p ≤ ∞, cada función distinta de cero f en Hp se puede escribir como el producto f = Gh donde G es una función externa yh es una función interna , como se define a continuación (Rudin 1987, Thm 17.17). Esta "factorización de Beurling" permite que el espacio Hardy se caracterice completamente por los espacios de las funciones internas y externas.

Uno dice que G ( z ) es una función externa (exterior) si toma la forma

G (z) = cexp⁡ (12π∫ − ππeiθ + zeiθ − zlog (φ (eiθ)) dθ) {\ displaystyle G (z) = c \, \ exp \ left ({\ frac {1} {2 \ pi }} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {e ^ {i \ theta} + z} {e ^ {i \ theta} -z}} \ log \! \ left (\ varphi \! \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ right) \, \ mathrm {d} \ theta \ right)}

para algún número complejo c con | c | = 1, y alguna función medible positiva φ {\ displaystyle \ varphi} en el círculo unitario de modo que log⁡ (φ) {\ displaystyle \ log (\ varphi)} es integrable en el círculo. En particular, cuando φ {\ displaystyle \ varphi} es integrable en el círculo, G está en H 1 porque lo anterior toma la forma del núcleo de Poisson (Rudin 1987, Thm 17.16). Esto implica que

limr → 1− | G (reiθ) | = φ (eiθ) {\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left | G \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | = \ varphi \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}

por casi cada θ.

Uno dice que h es una función interna (interior) si y solo si | h | ≤ 1 en el disco de la unidad y el límite

limr → 1 − h (reiθ) {\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} h (re ^ {i \ theta})}

existe para casi todo θ y su módulo es igual a 1 ae En particular, h está en H ∞. La función interna se puede factorizar aún más en una forma que involucra un producto Blaschke.

La función f , descompuesta como f = Gh , está en Hp si y solo si φ pertenece a Lp ( T ), donde φ es la función positiva en la representación de la función externa G.

Deje G ser una función externa representada como arriba de una función φ en el círculo. Reemplazando φ por φα, α> 0, se obtiene una familia ( G α) de funciones externas, con las propiedades:

G 1 = G , G α + β = G α G β y | G α | = | G | α en casi todas partes del círculo.

Se deduce que siempre que 0 p , q , r ∞ y 1 / r = 1 / p + 1 / q , cada función f en Hr puede expresarse como el producto de una función en Hp y una función en Hq . Por ejemplo: cada función en H 1 es el producto de dos funciones en H 2; cada función en Hp , p 1, puede expresarse como producto de varias funciones en algunos Hq , q > 1.

Técnicas de variable real en el círculo unitario.

Las técnicas de variable real, principalmente asociadas al estudio de espacios reales de Hardy definidos en R n (ver más abajo), también se utilizan en el marco más simple del círculo. Es una práctica común permitir funciones complejas (o distribuciones) en estos espacios "reales". La definición que sigue no distingue entre caso real o complejo.

Deje Pr denotar el núcleo de Poisson en el círculo unitario T. Para una distribución f en el círculo unitario, establezca

(Mf) (eiθ) = sup0 r 1 | (f ∗ Pr) (eiθ) |, {\ displaystyle (Mf) (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 r 1} \ left | (f * P_ {r}) \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ right |,}

donde la estrella indica convolución entre la distribución f y la función eiθ → Pr (θ) en el círculo. A saber, ( fPr ) (eiθ) es el resultado de la acción de f sobre la función C ∞ definida en el círculo unitario por

eiφ → Pr (θ − φ). {\ displaystyle e ^ {i \ varphi} \ rightarrow P_ {r} (\ theta - \ varphi).}

Para 0 p ∞, el espacio real de Hardy Hp ( T ) consiste en distribuciones f tales que M f está en Lp ( T ).

La función F definida en el disco de la unidad por F ( re iθ) = ( fPr ) (eiθ) es armónica, y M f es la función radial máxima de F. Cuando M f pertenece a Lp ( T ) y p ≥ 1, la distribución f " es " una función en Lp ( T ), es decir, el valor límite de F. Para p ≥ 1, el espacio Hardy real Hp ( T ) es un subconjunto de Lp ( T ).

Función conjugada

A cada polinomio trigonométrico real u en el círculo unitario, se asocia el polinomio conjugado real v de manera que u + i v se extienda a una función holomórfica en el disco unitario,

u (eiθ) = a02 + ∑k≥1akcos⁡ (kθ) + bksin⁡ (kθ) ⟶v (eiθ) = ∑k≥1aksin⁡ (kθ) −bkcos⁡ (kθ). {\ displaystyle u (e ^ {i \ theta}) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k \ geq 1} a_ {k} \ cos (k \ theta) + b_ {k} \ sin (k \ theta ) \ longrightarrow v (e ^ {i \ theta}) = \ sum _ {k \ geq 1} a_ {k} \ sin (k \ theta) -b_ {k} \ cos (k \ theta).}

Este mapeo uv se extiende a un operador lineal acotado H en Lp ( T ), cuando 1 p ∞ (hasta un múltiplo escalar, es la transformada de Hilbert en el círculo unitario), y H también mapea L 1 ( T ) a débil- L 1 ( T ). Cuando 1 ≤ p ∞, los siguientes son equivalentes para una función integrable de valor real f en el círculo unitario:

  • la función f es la parte real de alguna función gHp ( T )
  • la función f y su conjugado H (f) pertenecen a Lp ( T )
  • La función radial máxima M f pertenece a Lp ( T ).

Cuando 1 p ∞, H (f) pertenece a Lp ( T ) cuando fLp ( T ), de ahí que el espacio real Hardy Hp ( T ) coincida con Lp ( T ) en este caso. Para p = 1, el espacio real de Hardy H 1 ( T ) es un subespacio apropiado de L 1 ( T ).

El caso de p = ∞ se excluyó de la definición de espacios Hardy reales, porque la función máxima M f de una función L always siempre está acotada, y porque no es deseable que real- H equal sea igual a L ∞. Sin embargo, las dos propiedades siguientes son equivalentes para una función con valor real f

  • la función f es la parte real de alguna función gH ∞ ( T )
  • la función f y su conjugado H (f) pertenecen a L ∞ ( T ).

Espacios reales de Hardy para 0 p 1

Cuando 0 p 1, una función F en Hp no se puede reconstruir a partir de la parte real de su función límite de límite en el círculo, debido a la falta de convexidad de Lp en este caso. La convexidad falla pero queda una especie de " convexidad compleja ", a saber, el hecho de que z → | z | q es subarmónico para cada q > 0. Como consecuencia, si

F (z) = ∑n = 0 + ∞cnzn, | z | 1 {\ displaystyle F (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} z ^ {n}, \ quad | z | 1}

está en Hp , se puede demostrar que cn = O ( n 1 / p –1). Se deduce que la serie de Fourier

∑n = 0 + ∞cneinθ {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {in \ theta}}

converge en el sentido de distribuciones a una distribución f en el círculo unitario, y F ( re iθ) = ( fPr ) (θ). La función FHp se puede reconstruir a partir de la distribución real Re ( f ) en el círculo, porque los coeficientes de Taylor cn de F se pueden calcular a partir de los coeficientes de Fourier de Re ( f ).

Las distribuciones en el círculo son suficientemente generales para manejar espacios resistentes cuando p 1. Las distribuciones que no son funciones ocurren, como se ve con las funciones F ( z ) = (1− z ) - N (para | z | 1), que pertenecen a Hp cuando 0 N p 1 (y N un número entero ≥ 1).

Una distribución real en el círculo pertenece a real- Hp ( T ) si es el valor límite de la parte real de alguna FHp . Una distribución de Dirac δ x , en cualquier punto x del círculo unitario, pertenece a Hp real ( T ) para cada p 1; las derivadas δ ′ x pertenecen cuando p 1/2, las segundas derivadas δ ′ ′ x cuando p 1/3, y así sucesivamente.

Espacios resistentes para el medio plano superior

Es posible definir espacios Hardy en otros dominios que el disco, y en muchas aplicaciones se usan espacios Hardy en un semiplano complejo (generalmente el semiplano derecho o el semiplano superior).

El espacio Hardy Hp ( H ) en el semiplano superior H se define como el espacio de las funciones holomórficas f en H con la norma limitada (cuasi), la norma dada por

‖F‖Hp = supy> 0 (∫ | f (x + iy) | pdx) 1p. {\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}} = \ sup _ {y> 0} \ left ( \ int | f (x + iy) | ^ {p} \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

La H ∞ ( H ) correspondiente se define como funciones de la norma limitada, con la norma dada por

‖F‖H∞ = supz∈H | f (z) |. {\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {z \ in \ mathbf {H}} | f ( z) |.}

Aunque la unidad de disco D y el medio plano superior H pueden mapearse entre sí mediante transformaciones de Möbius, no son intercambiables como dominios para espacios Hardy. Contribuyendo a esta diferencia está el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional) mientras que la línea real no. Sin embargo, para H 2, uno tiene el siguiente teorema: si m : DH denota la transformación de Möbius

m (z) = i⋅1 + z1 − z. {\ displaystyle m (z) = i \ cdot {\ frac {1 + z} {1-z}}.}

Entonces el operador lineal M : H 2 ( H ) → H 2 ( D ) definido por

(Mf) (z): = π1 − zf (m (z)). {\ Displaystyle (Mf) (z): = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {1-z}} f (m ( z)).}

Es un isomorfismo isométrico de los espacios de Hilbert.

Espacios reales Hardy para R n

En el análisis del espacio vectorial real R n , el espacio Hardy Hp (para 0 p ≤ ∞) consiste en distribuciones templadas f tales que para alguna función de Schwartz Φ con ∫Φ = 1, la función máxima

(MΦf) (x) = supt> 0 | (f ∗ Φt) (x) | {\ displaystyle (M _ {\ Phi} f) (x) = \ sup _ {t> 0} | (f * \ Phi _ {t}) (x) |}

está en Lp ( R n ), donde ∗ es convolución y Φ t ( x ) = t - n Φ ( x / t ). El Hp- quasinorm || f || Hp de una distribución f de Hp se define como la norma Lp de M Φ f (esto depende de la elección de Φ, pero las diferentes elecciones de funciones de Schwartz Φ dan normas equivalentes). El Hp- cuasinorm es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando p 1.

Si 1 p ∞, el espacio Hardy Hp es el mismo espacio vectorial que Lp , con una norma equivalente. Cuando p = 1, el espacio Hardy H 1 es un subespacio adecuado de L 1. Se pueden encontrar secuencias en H 1 que están limitadas en L 1 pero no están limitadas en H 1, por ejemplo en la línea

fk (x) = 1 (x − k) −1 (x + k), k> 0. {\ displaystyle f_ {k} (x) = \ mathbf {1} _ {} (xk) - \ mathbf {1 } _ {} (x + k), \ \ \ k> 0.}

Las normas L 1 y H 1 no son equivalentes en H 1, y H 1 no está cerrado en L 1. El dual de H 1 es el espacio BMO de funciones de oscilación media acotada. El espacio BMO contiene funciones ilimitadas (demostrando nuevamente que H 1 no está cerrado en L 1).

Si p 1, entonces el espacio Hardy Hp tiene elementos que no son funciones, y su dual es el espacio homogéneo de Lipschitz de orden n (1 / p - 1). Cuando p 1, la quasinorma Hp no es una norma, ya que no es subaditiva. El p th poder || f || Hp p es subaditivo para p 1 y, por lo tanto, define una métrica en el espacio Hardy Hp , que define la topología y convierte a Hp en un espacio métrico completo.

Descomposición atómica

Cuando 0 p ≤ 1, una función medible acotada f de soporte compacto está en el espacio Hardy Hp si y solo si todos sus momentos

∫Rnf (x) x1i1… xnindx, {\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (x) x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}} \, \ mathrm {d} x,}

cuyo orden i 1+ ... + en es como máximo n (1 / p - 1), desaparece. Por ejemplo, la integral de f debe desaparecer para que fHp , 0 p ≤ 1, y siempre que p > n / ( n +1) esto también sea suficiente.

Si además f tiene soporte en alguna bola B y está delimitada por | B | −1 / p entonces f se llama un átomo de Hp (aquí | B | denota el volumen euclidiano de B en R n ). El Hp -quasinorm de un arbitrario Hp -atom está limitado por una constante que depende solo de p y de la función de Schwartz Φ.

Cuando 0 p ≤ 1, cualquier elemento f de Hp tiene una descomposición atómica como una combinación infinita convergente de átomos de Hp ,

f = ∑cjaj, ∑ | cj | p ∞ {\ displaystyle f = \ sum c_ {j} a_ {j}, \ \ \ \ sum | c_ {j} | ^ {p} \ infty}

donde aj son Hp -atoms y cj son escalares.

En la línea, por ejemplo, la diferencia de las distribuciones de Dirac f = δ1 − δ0 se puede representar como una serie de funciones de Haar, convergentes en Hp- cuasinorm cuando 1/2 p 1 (en el círculo, la representación correspondiente es válida para 0 p 1, pero en la línea, las funciones de Haar no pertenecen a Hp cuando p ≤ 1/2 porque su función máxima es equivalente en el infinito a a x −2 para alguna a ≠ 0).

Martingale Hp

Sea ( Mn ) n ≥0 una martingala en algún espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ), con respecto a una secuencia creciente de campos σ (Σ n ) n ≥0. Supongamos por simplicidad que Σ es igual al campo σ generado por la secuencia (Σ n ) n ≥0. La función máxima de la martingala se define por

M ∗ = supn≥0 | Mn |. {\ Displaystyle M ^ {*} = \ sup _ {n \ geq 0} \, | M_ {n} |.}

Deje 1 ≤ p ∞. La martingala ( Mn ) n ≥0 pertenece a la martingala - Hp cuando M *Lp .

Si M *Lp , la martingala ( Mn ) n ≥0 está limitada en Lp ; por lo tanto, converge casi seguramente a alguna función f por el teorema de convergencia martingala. Además, Mn converge a f en Lp -norm por el teorema de convergencia dominado; por lo tanto, Mn puede expresarse como expectativa condicional de f en Σ n . Por lo tanto, es posible identificar martingala- Hp con el subespacio de Lp (Ω, Σ, P ) que consiste en aquellos f tales que la martingala

Mn = E⁡ (f | Σn) {\ displaystyle M_ {n} = \ operatorname {E} {\ bigl (} f | \ Sigma _ {n} {\ bigr)}}

pertenece a martingala- Hp .

La desigualdad máxima de Doob implica que martingala- Hp coincide con Lp (Ω, Σ, P ) cuando 1 p ∞. El espacio interesante es martingala- H 1, cuyo doble es martingala-BMO (Garsia 1973).

Las desigualdades Burkholder-Gundy (cuando p > 1) y la desigualdad de Burgess Davis (cuando p = 1) relacionan la forma Lp de la función máxima con la de la función cuadrada de la martingala

S (f) = (| M0 | 2 + ∑n = 0∞ | Mn + 1 − Mn | 2) 12. {\ displaystyle S (f) = \ left (| M_ {0} | ^ {2} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | M_ {n + 1} -M_ {n} | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Martingale- Hp se puede definir diciendo que S ( f ) ∈ Lp (Garsia 1973).

También se pueden considerar martingales con parámetro de tiempo continuo. Se obtiene un vínculo directo con la teoría clásica a través del movimiento browniano complejo ( Bt ) en el plano complejo, comenzando desde el punto z = 0 en el tiempo t = 0. Sea τ el tiempo de impacto del círculo unitario. Para cada función holomórfica F en el disco de la unidad,

Mt = F (Bt∧τ) {\ displaystyle M_ {t} = F (B_ {t \ wedge \ tau})}

es una martingala, que pertenece a martingala- Hp iff FHp (Burkholder, Gundy & Silverstein 1971).

Ejemplo: martingala diádica - H 1

En este ejemplo, Ω = y Σ n es el campo finito generado por la partición diádica en intervalos de 2 n de longitud 2− n , por cada n ≥ 0. Si una función f on está representada por su expansión en el sistema Haar ( hk )

f = ∑ckhk, {\ displaystyle f = \ sum c_ {k} h_ {k},}

entonces la norma martingala- H 1 de f puede definirse por la norma L 1 de la función cuadrada

∫01 (∑ | ckhk (x) | 2) 12dx. {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Bigl (} \ sum | c_ {k} h_ {k} (x) | ^ {2 } {\ Bigr)} ^ {\ frac {1} {2}} \, \ mathrm {d} x.}

Este espacio, a veces denotado por H 1 (δ), es isomorfo al espacio real clásico H 1 en el círculo (Müller 2005). El sistema Haar es una base incondicional para H 1 (δ).

Notas

  1. ^ Beurling, Arne (1948). "Sobre dos problemas relacionados con las transformaciones lineales en el espacio de Hilbert". Acta Mathematica . 81 : 239–255. doi: 10.1007 / BF02395019.
  2. ^ Voichick, Michael; Zalcman, Lawrence (1965). "Funciones internas y externas en las superficies de Riemann". Actas de la American Mathematical Society . 16 (6): 1200–1204. doi: 10.1090 / S0002-9939-1965-0183883-1.