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Diferencia de color

La diferencia o distancia entre dos colores es una medida de interés en la ciencia del color. Permite el examen cuantificado de una noción que anteriormente solo podía describirse con adjetivos. La cuantificación de estas propiedades es de gran importancia para aquellos cuyo trabajo es crítico con el color. Las definiciones comunes hacen uso de la distancia euclidiana en un espacio de color independiente del dispositivo.

Euclidiana

Como la mayoría de las definiciones de diferencia de color son distancias dentro de un espacio de color, el medio estándar para determinar distancias es la distancia euclidiana. Si uno tiene actualmente una tupla RGB (Roja, Verde, Azul) y desea encontrar la diferencia de color, computacionalmente una de las más fáciles es llamar a R, G, B dimensiones lineales que definen el espacio de color.

distancia = (R2 − R1) 2+ (G2 − G1) 2+ (B2 − B1) 2 {\ displaystyle \ mathrm {distancia} = {\ sqrt {(R_ {2} -R_ {1}) ^ {2} + (G_ {2} -G_ {1}) ^ {2} + (B_ {2} -B_ {1}) ^ {2}}}}

Cuando el resultado también debe ser computacionalmente simple, a menudo es aceptable eliminar la raíz cuadrada y simplemente usar:

distancia2 = (R2 − R1) 2+ (G2 − G1) 2+ (B2 − B1) 2 {\ displaystyle \ mathrm {distancia} ^ {2} = {(R_ {2} -R_ {1}) ^ {2 } + (G_ {2} -G_ {1}) ^ {2} + (B_ {2} -B_ {1}) ^ {2}}}

Esto funcionará en los casos en que un solo color se compara con un solo color y la necesidad es simplemente saber si una distancia es mayor. Si se suman estas distancias de color al cuadrado, dicha métrica se convierte efectivamente en la varianza de las distancias de color.

Ha habido muchos intentos de ponderar los valores RGB para adaptarse mejor a la percepción humana, donde los componentes son comúnmente ponderados (rojo 30%, verde 59% y azul 11%), sin embargo, estos son demostrablemente peores en las determinaciones de color y son las contribuciones adecuadas para el brillo de estos colores, en lugar del grado en que la visión humana tiene menos tolerancia para estos colores. Las aproximaciones más cercanas serían más apropiadas:

{2 × ΔR2 + 4 × ΔG2 + 3 × ΔB2R¯ 128,3 × ΔR2 + 4 × ΔG2 + 2 × ΔB2 de lo contrario {\ displaystyle {\ begin {cases} {\ sqrt {2 \ times \ Delta R ^ {2} +4 \ veces \ Delta G ^ {2} +3 \ veces \ Delta B ^ {2}}} y {\ bar {R}} 128, \\ {\ sqrt {3 \ veces \ Delta R ^ {2 } +4 \ veces \ Delta G ^ {2} +2 \ veces \ Delta B ^ {2}}} y de lo contrario \ end {casos}}},

Una de las mejores aproximaciones de bajo costo (usando un rango de color de 0–255) combina los dos casos sin problemas:

r¯ = C1, R + C2, R2 {\ displaystyle {\ bar {r}} = {{C_ {1, R} + C_ {2, R}} \ over 2}} ΔC = (2 + r¯256 ) × ΔR2 + 4 × ΔG2 + (2 + 255 − r¯256) × ΔB2 {\ displaystyle \ Delta C = {\ sqrt {\ left ({2 + {{\ bar {r}} \ over {256}}} \ right) \ times \ Delta R ^ {2} +4 \ times \ Delta G ^ {2} + \ left ({2 + {{255 - {\ bar {r}}} \ over {256}}} \ derecha) \ veces \ Delta B ^ {2}}}}

Hay una serie de fórmulas de distancia de color que intentan usar espacios de color como HSV con el tono como un círculo, colocando los diversos colores dentro de un espacio tridimensional de un cilindro o cono, pero la mayoría de estos son solo modificaciones de RGB; sin tener en cuenta las diferencias en la percepción del color humano, tenderán a estar a la par con una métrica euclidiana simple.

CIELAB ΔE *

La Comisión Internacional de Iluminación (CIE) llama a su métrica de distancia Δ E * ab (también llamada Δ E * , o, incorrectamente, dE *, dE o "Delta E") donde delta es una letra griega que a menudo se usa para denotar diferencia, y E significa Empfindung ; Alemán para "sensación". El uso de este término se remonta a Hermann von Helmholtz y Ewald Hering.

Las no uniformidades perceptivas en el espacio de color CIELAB subyacente han llevado a que el CIE refine su definición a lo largo de los años, lo que lleva a las fórmulas superiores (como lo recomienda el CIE) de 1994 y 2000. Estas no uniformidades son importantes porque el ojo humano es más sensible a ciertos colores que otros. Una buena métrica debe tener esto en cuenta para que la noción de una "diferencia notable" tenga sentido. De lo contrario, un cierto Δ E que puede ser insignificante entre dos colores en una parte del espacio de color, mientras que es significativo en otra parte.

CIE76

La fórmula de 1976 es la primera fórmula que relaciona una diferencia de color medida con un conjunto conocido de coordenadas CIELAB. Esta fórmula ha sido exitosa por las fórmulas de 1994 y 2000 porque el espacio CIELAB resultó no ser tan perceptualmente uniforme como se esperaba, especialmente en las regiones saturadas. Esto significa que esta fórmula califica estos colores demasiado en comparación con otros colores.

Dados dos colores en el espacio de color CIELAB, (L1 ∗, a1 ∗, b1 ∗) {\ displaystyle ({L_ {1} ^ {*}}, {a_ {1} ^ {*}}, {b_ {1} ^ {*}})} y (L2 ∗, a2 ∗, b2 ∗) {\ displaystyle ({L_ {2} ^ {*}}, {a_ {2} ^ {*}}, {b_ {2} ^ { *}})}, la fórmula de diferencia de color CIE76 se define como:

ΔEab ∗ = (L2 ∗ −L1 ∗) 2+ (a2 ∗ −a1 ∗) 2+ (b2 ∗ −b1 ∗) 2 {\ displaystyle \ Delta E_ {ab} ^ {*} = {\ sqrt {(L_ { 2} ^ {*} - L_ {1} ^ {*}) ^ {2} + (a_ {2} ^ {*} - a_ {1} ^ {*}) ^ {2} + (b_ {2} ^ {*} - b_ {1} ^ {*}) ^ {2}}}}.

ΔEab ∗ ≈2.3 {\ displaystyle \ Delta E_ {ab} ^ {*} \ aprox 2.3} corresponde a un JND (solo una diferencia notable).

CIE94

La definición de 1976 se amplió para abordar las no uniformidades perceptivas, al tiempo que conservaba el espacio de color CIELAB, mediante la introducción de pesos específicos de la aplicación derivados de los datos de tolerancia de una prueba de pintura automotriz.

Δ E (1994) se define en el espacio de color L * C * h * con diferencias en claridad, croma y tono calculadas a partir de las coordenadas L * a * b *. Dado un color de referencia (L1 ∗, a1 ∗, b1 ∗) {\ displaystyle (L_ {1} ^ {*}, a_ {1} ^ {*}, b_ {1} ^ {*})} y otro color ( L2 ∗, a2 ∗, b2 ∗) {\ displaystyle (L_ {2} ^ {*}, a_ {2} ^ {*}, b_ {2} ^ {*})}, la diferencia es:

ΔE94 ∗ = (ΔL ∗ kLSL) 2+ (ΔCab ∗ kCSC) 2+ (ΔHab ∗ kHSH) 2 {\ displaystyle \ Delta E_ {94} ^ {*} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ Delta L ^ {*}} {k_ {L} S_ {L}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ Delta C_ {ab} ^ {*}} {k_ {C} S_ { C}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ Delta H_ {ab} ^ {*}} {k_ {H} S_ {H}}} \ right) ^ {2}}} }

dónde:

ΔL ∗ = L1 ∗ −L2 ∗ {\ displaystyle \ Delta L ^ {*} = L_ {1} ^ {*} - L_ {2} ^ {*}} C1 ∗ = a1 ∗ 2 + b1 ∗ 2 {\ displaystyle C_ {1} ^ {*} = {\ sqrt {{a_ {1} ^ {*}} ^ {2} + {b_ {1} ^ {*}} ^ {2}}}} C2 ∗ = a2 ∗ 2 + b2 ∗ 2 {\ displaystyle C_ {2} ^ {*} = {\ sqrt {{a_ {2} ^ {*}} ^ {2} + {b_ {2} ^ {*}} ^ {2} }}} ΔCab ∗ = C1 ∗ −C2 ∗ {\ displaystyle \ Delta C_ {ab} ^ {*} = C_ {1} ^ {*} - C_ {2} ^ {*}} ΔHab ∗ = ΔEab ∗ 2− ΔL ∗ 2 − ​​ΔCab ∗ 2 = Δa ∗ 2 + Δb ∗ 2 − ​​ΔCab ∗ 2 {\ displaystyle \ Delta H_ {ab} ^ {*} = {\ sqrt {{\ Delta E_ {ab} ^ {*}} ^ {2} - {\ Delta L ^ {*}} ^ {2} - {\ Delta C_ {ab} ^ {*}} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ Delta a ^ {*}} ^ {2} + {\ Delta b ^ {*}} ^ {2} - {\ Delta C_ {ab} ^ {*}} ^ {2}}}} Δa ∗ = a1 ∗ −a2 ∗ {\ displaystyle \ Delta a ^ {*} = a_ {1} ^ {*} - a_ {2} ^ {*}} Δb ∗ = b1 ∗ −b2 ∗ {\ displaystyle \ Delta b ^ {*} = b_ {1} ^ { *} - b_ {2} ^ {*}} SL = 1 {\ displaystyle S_ {L} = 1} SC = 1 + K1C1 ∗ {\ displaystyle S_ {C} = 1 + K_ {1} C_ {1} ^ {*}} SH = 1 + K2C1 ∗ {\ displaystyle S_ {H} = 1 + K_ {2} C_ {1} ^ {*}}

y donde kC y kH son generalmente la unidad y los factores de ponderación kL , K 1 y K 2 dependen de la aplicación:

Artes graficas textiles
kL {\ displaystyle k_ {L}} 1 2
K1 {\ displaystyle K_ {1}} 0,045 0,048
K2 {\ displaystyle K_ {2}} 0,015 0,014

Geométricamente, la cantidad ΔHab ∗ {\ displaystyle \ Delta H_ {ab} ^ {*}} corresponde a la media aritmética de las longitudes de acorde de los círculos de croma iguales de los dos colores.

CIEDE2000

Dado que la definición de 1994 no resolvió adecuadamente el problema de la uniformidad perceptiva, la CIE refinó su definición, agregando cinco correcciones:

  • Un término de rotación de tono (RT), para tratar con la región azul problemática (ángulos de tono cercanos a 275 °):
  • Compensación por colores neutros (los valores imprimados en las diferencias L * C * h)
  • Compensación por ligereza (SL)
  • Compensación por croma (SC)
  • Compensación por matiz (SH)
ΔE00 ∗ = (ΔL′kLSL) 2+ (ΔC′kCSC) 2+ (ΔH′kHSH) 2 + RTΔC′kCSCΔH′kHSH {\ displaystyle \ Delta E_ {00} ^ {*} = {\ sqrt {\ left ( {\ frac {\ Delta L '} {k_ {L} S_ {L}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ Delta C'} {k_ {C} S_ {C}} } \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ Delta H '} {k_ {H} S_ {H}}} \ right) ^ {2} + R_ {T} {\ frac {\ Delta C '} {k_ {C} S_ {C}}} {\ frac {\ Delta H'} {k_ {H} S_ {H}}}}}} Nota: Las siguientes fórmulas deben usar grados en lugar de radianes; El problema es significativo para RT . KL , kC y kH son generalmente la unidad.ΔL ′ = L2 ∗ −L1 ∗ {\ displaystyle \ Delta L ^ {\ prime} = L_ {2} ^ {*} - L_ {1} ^ {*}} L ¯ = L1 ∗ + L2 ∗ 2C¯ = C1 ∗ + C2 ∗ 2 {\ displaystyle {\ bar {L}} = {\ frac {L_ {1} ^ {*} + L_ {2} ^ {*}} { 2}} \ quad {\ bar {C}} = {\ frac {C_ {1} ^ {*} + C_ {2} ^ {*}} {2}}} a1 ′ = a1 ∗ + a1 ∗ 2 ( 1 − C¯7C¯7 + 257) a2 ′ = a2 ∗ + a2 ∗ 2 (1 − C¯7C¯7 + 257) {\ displaystyle a_ {1} ^ {\ prime} = a_ {1} ^ {* } + {\ frac {a_ {1} ^ {*}} {2}} \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {{\ bar {C}} ^ {7}} {{\ bar {C} } ^ {7} + 25 ^ {7}}}} \ right) \ quad a_ {2} ^ {\ prime} = a_ {2} ^ {*} + {\ frac {a_ {2} ^ {*} } {2}} \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {{\ bar {C}} ^ {7}} {{\ bar {C}} ^ {7} + 25 ^ {7}}}} \ right)} C¯ ′ = C1 ′ + C2′2 y ΔC ′ = C2′ − C1′ donde C1 ′ = a1′2 + b1 ∗ 2C2 ′ = a2′2 + b2 ∗ 2 {\ displaystyle {\ bar { C}} ^ {\ prime} = {\ frac {C_ {1} ^ {\ prime} + C_ {2} ^ {\ prime}} {2}} {\ mbox {y}} \ Delta {C '} = C '_ {2} -C' _ {1} \ quad {\ mbox {donde}} C_ {1} ^ {\ prime} = {\ sqrt {a_ {1} ^ {'^ {2}} + b_ {1} ^ {* ^ {2}}}} \ quad C_ {2} ^ {\ prime} = {\ sqrt {a_ {2} ^ {'^ {2}} + b_ {2} ^ {* ^ {2}}}} \ quad} h1 ′ = atan2 (b1 ∗, a1 ′) mod360∘, h2 ′ = atan2 (b2 ∗, a2 ′) mod360∘ {\ d isplaystyle h_ {1} ^ {\ prime} = {\ text {atan2}} (b_ {1} ^ {*}, a_ {1} ^ {\ prime}) \ mod 360 ^ {\ circ}, \ quad h_ {2} ^ {\ prime} = {\ text {atan2}} (b_ {2} ^ {*}, a_ {2} ^ {\ prime}) \ mod 360 ^ {\ circ}} Nota: La tangente inversa (tan − 1) se puede calcular utilizando una rutina de biblioteca común atan2 (b, a ′) que generalmente tiene un rango de −π a π radianes; Las especificaciones de color se dan en 0 a 360 grados, por lo que se necesita algún ajuste. La tangente inversa es indeterminada si tanto a ' como b son cero (lo que también significa que la C' correspondiente es cero); en ese caso, establezca el ángulo de tono en cero. Ver Sharma 2005, eqn. 7.Δh ′ = {h2′ − h1 ′ | h1′ − h2 ′ | ≤180∘h2′ − h1 ′ + 360∘ | h1′ − h2 ′ |> 180∘, h2′≤h1′h2′ − h1 ′ −360∘ | h1′ − h2 ′ |> 180∘, h2 ′> h1 ′ {\ displaystyle \ Delta h '= {\ begin {cases} h_ {2} ^ {\ prime} -h_ {1} ^ {\ prime} & \ left | h_ {1} ^ {\ prime} -h_ {2} ^ {\ prime} \ right | \ leq 180 ^ {\ circ} \\ h_ {2} ^ {\ prime} -h_ { 1} ^ {\ prime} +360 ^ {\ circ} & \ left | h_ {1} ^ {\ prime} -h_ {2} ^ {\ prime} \ right |> 180 ^ {\ circ}, h_ { 2} ^ {\ prime} \ leq h_ {1} ^ {\ prime} \\ h_ {2} ^ {\ prime} -h_ {1} ^ {\ prime} -360 ^ {\ circ} & \ left | h_ {1} ^ {\ prime} -h_ {2} ^ {\ prime} \ right |> 180 ^ {\ circ}, h_ {2} ^ {\ prime}> h_ {1} ^ {\ prime} \ end {cases}}} Nota: cuando C ′ 1 o C ′ 2 es cero, entonces Δh ′ es irrelevante y puede establecerse en cero. Ver Sharma 2005, eqn. 10.ΔH ′ = 2C1′C2′sin⁡ (Δh ′ / 2), H¯ ′ = {(h1 ′ + h2 ′) / 2 | h1′ − h2 ′ | ≤180∘ (h1 ′ + h2 ′ + 360 ∘) / 2 | h1′ − h2 ′ |> 180∘, h1 ′ + h2 ′ 360∘ (h1 ′ + h2′ − 360∘) / 2 | h1′ − h2 ′ |> 180∘, h1 ′ + h2 ′ ≥360∘ {\ displaystyle \ Delta H ^ {\ prime} = 2 {\ sqrt {C_ {1} ^ {\ prime} C_ {2} ^ {\ prime}}} \ sin (\ Delta h ^ {\ prime} / 2), \ quad {\ bar {H}} ^ {\ prime} = {\ begin {cases} (h_ {1} ^ {\ prime} + h_ {2} ^ {\ prime}) / 2 & \ left | h_ {1} ^ {\ prime} -h_ {2} ^ {\ prime} \ right | \ leq 180 ^ {\ circ} \\ (h_ {1} ^ {\ prime} + h_ {2} ^ {\ prime} +360 ^ {\ circ}) / 2 & \ left | h_ {1} ^ {\ prime} -h_ {2} ^ {\ prime} \ right |> 180 ^ {\ circ}, h_ { 1} ^ {\ prime} + h_ {2} ^ {\ prime} 360 ^ {\ circ} \\ (h_ {1} ^ {\ prime} + h_ {2} ^ {\ prime} -360 ^ { \ circ}) / 2 & \ left | h_ {1} ^ {\ prime} -h_ {2} ^ {\ prime} \ right |> 180 ^ {\ circ}, h_ {1} ^ {\ prime} + h_ {2} ^ {\ prime} \ geq 360 ^ {\ circ} \ end {cases}}} Nota: cuando C ′ 1 o C ′ 2 es cero, entonces H ′ es h ′ 1+ h ′ 2 (no dividir por 2; esencialmente, si un ángulo es indeterminado, use el otro ángulo como promedio; se basa en que el ángulo indeterminado se establezca en cero ) Ver Sharma 2005, eqn. 7 y p. 23 indicando que la mayoría de las implementaciones en Internet en ese momento tenían "un error en el cálculo del tono promedio". T = 1−0.17cos⁡ (H¯′ − 30∘) + 0.24cos⁡ (2H¯ ′) + 0.32cos⁡ (3H¯ ′ + 6∘) −0.20cos⁡ (4H¯′ − 63∘) {\ displaystyle T = 1-0.17 \ cos ({\ bar {H}} ^ {\ prime} -30 ^ {\ circ} ) +0.24 \ cos (2 {\ bar {H}} ^ {\ prime}) + 0.32 \ cos (3 {\ bar {H}} ^ {\ prime} +6 ^ {\ circ}) - 0.20 \ cos (4 {\ bar {H}} ^ {\ prime} -63 ^ {\ circ})} SL = 1 + 0.015 (L¯ − 50) 220+ (L¯ − 50) 2SC = 1 + 0.045C¯ ′ SH = 1 + 0.015C¯′T {\ displaystyle S_ {L} = 1 + {\ frac {0.015 \ left ({\ bar {L}} - 50 \ right) ^ {2}} {\ sqrt {20+ {\ left ({\ bar {L}} - 50 \ right)} ^ {2}}}} \ quad S_ {C} = 1 + 0.045 {\ bar {C}} ^ {\ prime} \ quad S_ { H} = 1 + 0.015 {\ bar {C}} ^ {\ prime} T} RT = −2C¯′7C¯′7 + 257sin⁡60∘⋅exp⁡ (−H¯′ − 275∘25∘60 ^ {\ circ} \ cdot \ exp \ left (- \ left {\ frac {{\ bar {H}} '- 275 ^ {\ circ}} {25 ^ {\ circ}}} \ right

En 1984, el Comité de Medición del Color de la Sociedad de Tintes y Colourists definió una medida de diferencia, también basada en el modelo de color L * C * h. El nombre del comité de desarrollo, su métrica se llama CMC l: c . El cuasimétrico tiene dos parámetros: ligereza (l) y croma (c), lo que permite a los usuarios ponderar la diferencia en función de la relación de l: c que se considera apropiada para la aplicación. Los valores de uso común son 2: 1 para aceptabilidad y 1: 1 para el umbral de imperceptibilidad.

La distancia de un color (L2 ∗, C2 ∗, h2) {\ displaystyle (L_ {2} ^ {*}, C_ {2} ^ {*}, h_ {2})} a una referencia (L1 ∗, C1 ∗, h1) {\ displaystyle (L_ {1} ^ {*}, C_ {1} ^ {*}, h_ {1})} es:

ΔECMC ∗ = (L2 ∗ −L1 ∗ lSL) 2+ (C2 ∗ −C1 ∗ cSC) 2+ (ΔHab ∗ SH) 2 {\ displaystyle \ Delta E_ {CMC} ^ {*} = {\ sqrt {\ left ( {\ frac {L_ {2} ^ {*} - L_ {1} ^ {*}} {lS_ {L}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {C_ {2} ^ { *} - C_ {1} ^ {*}} {cS_ {C}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ Delta H_ {ab} ^ {*}} {S_ {H} }} \ right) ^ {2}}}} SL = {0.511L1 ∗ 160.040975L1 ∗ 1 + 0.01765L1 ∗ L1 ∗ ≥16SC = 0.0638C1 ∗ 1 + 0.0131C1 ∗ + 0.638SH = SC (FT + 1− F) {\ displaystyle S_ {L} = {\ begin {cases} 0.511 & L_ {1} ^ {*} 16 \\ {\ frac {0.040975L_ {1} ^ {*}} {1 + 0.01765L_ {1 1 } ^ {*}}} & L_ {1} ^ {*} \ geq 16 \ end {cases}} \ quad S_ {C} = {\ frac {0.0638C_ {1} ^ {*}} {1 + 0.0131C_ {1} ^ {*}}} + 0.638 \ quad S_ {H} = S_ {C} (FT + 1-F)} F = C1 ∗ 4C1 ∗ 4 + 1900T = {0.56+ | 0.2cos⁡ (h1 + 168∘) | 164∘≤h1≤345∘0.36 + | 0.4cos⁡ (h1 + 35∘) | de lo contrario {\ displaystyle F = {\ sqrt {\ frac {C_ {1} ^ {* ^ {4}}} {C_ {1} ^ {* ^ {4}} + 1900}}} \ quad T = {\ begin {cases} 0.56+ | 0.2 \ cos (h_ {1} +168 ^ {\ circ}) | & 164 ^ {\ circ} \ leq h_ {1} \ leq 345 ^ {\ circ} \\ 0.36+ | 0.4 \ cos (h_ {1} +35 ^ {\ circ}) | & {\ mbox {de lo contrario}} \ end {casos}}}

CMC l: c está diseñado para usarse con D65 y el Observador suplementario CIE. La fórmula no es métrica, sino cuasimétrica porque viola la simetría, el parámetro T se basa solo en el tono de h1 {\ displaystyle h_ {1}}. Este color de referencia significa que la diferencia de color del primer color al segundo color es diferente de la distancia de color del segundo color al primero.

Tolerancia

La tolerancia se refiere a la pregunta "¿Qué es un conjunto de colores que son imperceptible / aceptablemente cerca de una referencia dada?" Si la medida de la distancia es perceptivamente uniforme , entonces la respuesta es simplemente "el conjunto de puntos cuya distancia a la referencia es menor que el umbral de la diferencia simplemente perceptible (JND)". Esto requiere una métrica perceptivamente uniforme para que el umbral sea constante en toda la gama (gama de colores). De lo contrario, el umbral será una función del color de referencia, engorroso como guía práctica.

En el espacio de color CIE 1931, por ejemplo, los contornos de tolerancia están definidos por la elipse de MacAdam, que mantiene fijo L * (luminosidad). Como se puede observar en el diagrama adyacente, las elipses que indican los contornos de tolerancia varían en tamaño. Es en parte esta falta de uniformidad lo que llevó a la creación de CIELUV y CIELAB.

En términos más generales, si se permite que la ligereza varíe, entonces encontramos que la tolerancia establecida es elipsoidal. El aumento del factor de ponderación en las expresiones de distancia mencionadas anteriormente tiene el efecto de aumentar el tamaño del elipsoide a lo largo del eje respectivo.