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Pelota que rebota

Pelota que rebota

La física de una pelota que rebota se refiere al comportamiento físico de las bolas que rebota, particularmente su movimiento antes, durante y después del impacto contra la superficie de otro cuerpo. Varios aspectos del comportamiento de una pelota que rebota sirven como introducción a la mecánica en los cursos de física de nivel secundario o universitario. Sin embargo, el modelado exacto del comportamiento es complejo y de interés en la ingeniería deportiva.

El movimiento de una pelota generalmente se describe por el movimiento de un proyectil (que puede verse afectado por la gravedad, el arrastre, el efecto Magnus y la flotabilidad), mientras que su impacto generalmente se caracteriza por el coeficiente de restitución (que puede verse afectado por la naturaleza del bola, la naturaleza de la superficie de impacto, la velocidad del impacto, la rotación y las condiciones locales, como la temperatura y la presión). Para garantizar un juego limpio, muchos organismos rectores deportivos establecen límites en el rebote de su pelota y prohíben alterar las propiedades aerodinámicas de la pelota. La hinchazón de las pelotas ha sido una característica de deportes tan antiguos como el juego de pelota mesoamericano.

Fuerzas durante el vuelo y efecto sobre el movimiento.

El movimiento de una pelota que rebota obedece al movimiento del proyectil. Muchas fuerzas actúan sobre una bola real, a saber, la fuerza gravitacional ( F G), la fuerza de arrastre debido a la resistencia del aire ( F D), la fuerza Magnus debido al giro de la bola ( F M) y la fuerza de flotación ( F B) . En general, uno tiene que usar la segunda ley de Newton teniendo en cuenta todas las fuerzas para analizar el movimiento de la pelota:

=F = ma, FG + FD + FM + FB = ma = mdvdt = md2rdt2, {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum \ mathbf {F} & = m \ mathbf {a}, \\\ mathbf {F } _ {\ text {G}} + \ mathbf {F} _ {\ text {D}} + \ mathbf {F} _ {\ text {M}} + \ mathbf {F} _ {\ text {B} } & = m \ mathbf {a} = m {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}} }, \ end {alineado}}}

donde m es la masa de la pelota. Aquí, a , v , r representan la aceleración, velocidad y posición de la pelota en el tiempo t .

Gravedad

La fuerza gravitacional se dirige hacia abajo y es igual a

FG = mg, {\ displaystyle F _ {\ text {G}} = mg,}

donde m es la masa de la pelota yg es la aceleración gravitacional, que en la Tierra varía entre 9.764 m / s2 y 9.834 m / s2. Debido a que las otras fuerzas suelen ser pequeñas, el movimiento a menudo se idealiza como solo bajo la influencia de la gravedad. Si solo la fuerza de la gravedad actúa sobre la pelota, la energía mecánica se conservará durante su vuelo. En este caso idealizado, las ecuaciones de movimiento están dadas por

a = −gj ^, v = v0 + at, r = r0 + v0t + 12at2, {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {a} & = - g \ mathbf {\ hat {j}}, \\ \ mathbf {v} & = \ mathbf {v} _ {\ text {0}} + \ mathbf {a} t, \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf { v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2}, \ end {alineado}}}

donde a , v y r denotan la aceleración, la velocidad y la posición de la pelota, y v 0 yr 0 son la velocidad y la posición iniciales de la pelota, respectivamente.

Más específicamente, si la pelota rebota en un ángulo θ con el suelo, el movimiento en los ejes x e y (que representan el movimiento horizontal y vertical , respectivamente) se describe mediante

eje x- ax = 0, vx = v0cos⁡ (θ), x = x0 + v0cos⁡ (θ) t, {\ displaystyle {\ begin {alineado} a _ {\ text {x}} & = 0, \\ v_ {\ text {x}} & = v_ {0} \ cos \ left (\ theta \ right), \\ x & = x_ {0} + v_ {0} \ cos \ left (\ theta \ right) t, \ end {alineado}}} eje- y ay = −g, vy = v0sin⁡ (θ) −gt, y = y0 + v0sin⁡ (θ) t − 12gt2. {\ displaystyle {\ begin {alineado} a _ {\ text {y}} & = -g, \\ v _ {\ text {y}} & = v_ {0} \ sin \ left (\ theta \ right) -gt, \\ y & = y_ {0} + v_ {0} \ sin \ left ( \ theta \ right) t - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}. \ end {alineado}}}

Las ecuaciones implican que la altura máxima ( H ) y el alcance ( R ) y el tiempo de vuelo ( T ) de una pelota que rebota en una superficie plana están dados por

H = v022gsin2⁡ (θ), R = v02gsin⁡ (2θ), y T = 2v0gsin⁡ (θ). {\ Displaystyle {\ begin {alineado} H & = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g }} \ sin ^ {2} \ left (\ theta \ right), \\ R & = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin \ left (2 \ theta \ right), ~ {\ text {and}} \\ T & = {\ frac {2v_ {0}} {g}} \ sin \ left (\ theta \ right). \ end {alineado}}}

Se pueden hacer más ajustes al movimiento de la pelota teniendo en cuenta la resistencia del aire (y los efectos relacionados, como el arrastre y el viento), el efecto Magnus y la flotabilidad. Debido a que las bolas más ligeras aceleran más fácilmente, su movimiento tiende a verse más afectado por tales fuerzas.

Arrastrar

El flujo de aire alrededor de la pelota puede ser laminar o turbulento dependiendo del número de Reynolds (Re), definido como:

Re = ρDvμ, {\ displaystyle {\ text {Re}} = {\ frac {\ rho Dv} {\ mu}},}

donde ρ es la densidad del aire, μ la viscosidad dinámica del aire, D el diámetro de la pelota y v la velocidad de la pelota a través del aire. A una temperatura de 20 ° C, ρ = 1.2 kg / m3 y μ = 1.8 × 10−5 Pa · s.

Si el número de Reynolds es muy bajo (Re 1), la ley de Stokes describe la fuerza de arrastre sobre la pelota:

FD = 6πμrv, {\ displaystyle F _ {\ text {D}} = 6 \ pi \ mu rv,}

donde r es el radio de la pelota. Esta fuerza actúa en oposición a la dirección de la pelota (en la dirección de −v ^ {\ displaystyle \ textstyle - {\ hat {\ mathbf {v}}}}). Sin embargo, para la mayoría de los balones deportivos, el número de Reynolds estará entre 104 y 105 y la ley de Stokes no se aplica. En estos valores más altos del número de Reynolds, la fuerza de arrastre sobre la pelota se describe en su lugar mediante la ecuación de arrastre:

FD = 12ρCdAv2, {\ displaystyle F _ {\ text {D}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {d}} Av ^ {2},}

donde C d es el coeficiente de arrastre y A el área de la sección transversal de la pelota.

Arrastrar hará que la bola pierda energía mecánica durante su vuelo, y reducirá el alcance y la altura de una bola, mientras que los vientos cruzados la desviarán de su trayectoria original. Los jugadores deben tener en cuenta ambos efectos en deportes como el golf.

Efecto Magnus

El giro de la pelota afectará su trayectoria a través del efecto Magnus. Según el teorema de Kutta-Joukowski, para una esfera giratoria con un flujo de aire invisible, la fuerza de Magnus es igual a

FM = 83πr3ρωv, {\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {8} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho \ omega v,}

donde r es el radio de la pelota, ω la velocidad angular (o velocidad de giro) de la pelota, ρ la densidad del aire y v la velocidad de la pelota en relación con el aire. Esta fuerza se dirige perpendicular al movimiento y perpendicular al eje de rotación (en la dirección de ω ^ × v ^ {\ displaystyle \ textstyle {\ hat {\ mathbf {\ omega}}} \ times {\ hat {\ mathbf {v}}}}). La fuerza se dirige hacia arriba para retroceder y hacia abajo para girar hacia arriba. En realidad, el flujo nunca es invisible, y el ascensor Magnus se describe mejor por

FM = 12ρCLAv2, {\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {L}} Av ^ {2},}

donde ρ es la densidad del aire, C L el coeficiente de elevación, A el área de la sección transversal de la pelota y v la velocidad de la pelota en relación con el aire. El coeficiente de elevación es un factor complejo que depende, entre otras cosas, de la relación / v , el número de Reynolds y la rugosidad de la superficie. En ciertas condiciones, el coeficiente de elevación puede ser incluso negativo, cambiando la dirección de la fuerza Magnus (efecto Magnus inverso).

En deportes como el tenis o el voleibol, el jugador puede usar el efecto Magnus para controlar la trayectoria de la pelota (por ejemplo, a través de un giro superior o de retroceso) durante el vuelo. En el golf, el efecto es responsable de cortar y enganchar, que generalmente son perjudiciales para el golfista, pero también ayudan a aumentar el alcance de un drive y otros tiros. En el béisbol, los lanzadores usan el efecto para crear bolas curvas y otros lanzamientos especiales.

La manipulación de la pelota es a menudo ilegal, y a menudo está en el centro de las controversias de cricket como la que se produjo entre Inglaterra y Pakistán en agosto de 2006. En el béisbol, el término 'spitball' se refiere al recubrimiento ilegal de la pelota con saliva u otras sustancias para alterar La aerodinámica de la pelota.

Flotabilidad

Cualquier objeto sumergido en un fluido como el agua o el aire experimentará una flotabilidad hacia arriba. Según el principio de Arquímedes, esta fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. En el caso de una esfera, esta fuerza es igual a

FB = 43πr3ρg. {\ Displaystyle F _ {\ text {B}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho g.}

La fuerza de flotación suele ser pequeña en comparación con las fuerzas de arrastre y Magnus y, a menudo, puede descuidarse. Sin embargo, en el caso de una pelota de baloncesto, la fuerza de flotación puede ascender a aproximadamente el 1.5% del peso de la pelota. Como la flotabilidad se dirige hacia arriba, actuará para aumentar el alcance y la altura de la pelota.

Impacto

Florian Korn (2013). "Pelota que rebota en cámara lenta: pelota de goma". Youtube.

Cuando una pelota impacta una superficie, la superficie retrocede y vibra, al igual que la pelota, creando sonido y calor, y la pelota pierde energía cinética. Además, el impacto puede impartir cierta rotación a la pelota, transfiriendo parte de su energía cinética de traslación a energía cinética rotacional. Esta pérdida de energía generalmente se caracteriza (indirectamente) a través del coeficiente de restitución (o COR, denotado e ):

e = −vf − ufvi − ui, {\ displaystyle e = - {\ frac {v _ {\ text {f}} - u _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}} - u _ {\ texto {i}}}},}

donde v f y v i son las velocidades finales e iniciales de la pelota, y u f y u i son las velocidades finales e iniciales que impactan la superficie, respectivamente. En el caso específico donde una pelota impacta en una superficie inamovible, el COR se simplifica a

e = −vfvi. {\ displaystyle e = - {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}}.}

Por lo tanto, para una pelota caída contra un piso, el COR variará entre 0 (sin rebote, pérdida total de energía) y 1 (perfectamente rebotante, sin pérdida de energía). Un valor COR debajo de 0 o por encima de 1 es teóricamente posible, pero indicaría que la pelota salió a través de la superficie (e 0), o que la superficie no era "relajado" cuando la bola impactada que (e> 1), como en el caso de una pelota que aterriza en una plataforma con resorte.

Para analizar las componentes vertical y horizontal del movimiento, el COR a veces se divide en un COR normal ( e y) y un COR tangencial ( e x), definido como

ey = −vyf − uyfvyi − uyi, {\ displaystyle e _ {\ text {y}} = - {\ frac {v _ {\ text {yf}} - u _ {\ text {yf}}} {v _ {\ text { yi}} - u _ {\ text {yi}}}},} ex = - (vxf − rωf) - (uxf − RΩf) (vxi − rωi) - (uxi − RΩi), {\ displaystyle e _ {\ text { x}} = - {\ frac {(v _ {\ text {xf}} - r \ omega _ {\ text {f}}) - (u _ {\ text {xf}} - R \ Omega _ {\ text { f}})} {(v _ {\ text {xi}} - r \ omega _ {\ text {i}}) - (u _ {\ text {xi}} - R \ Omega _ {\ text {i}} )}},}

donde r y ote denotan el radio y la velocidad angular de la pelota, mientras que R y Ω denotan el radio y la velocidad angular de la superficie de impacto (como un bate de béisbol). En particular, es la velocidad tangencial de la superficie de la bola, mientras que es la velocidad tangencial de la superficie de impacto. Estos son especialmente interesantes cuando la pelota impacta la superficie en un ángulo oblicuo, o cuando se trata de rotación.

Para una caída directa en el suelo sin rotación, con solo la fuerza de gravedad actuando sobre la pelota, el COR puede relacionarse con varias otras cantidades al:

e = | vfvi | = KfKi = UfUi = HfHi = TfTi = gTf28Hi. {\ displaystyle e = \ left | {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {K _ {\ text {f}}} {K _ {\ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {U _ {\ text {f}}} {U_ { \ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {H _ {\ text {f}}} {H _ {\ text {i}}}}} = {\ frac {T _ {\ text {f} }} {T _ {\ text {i}}}} = {\ sqrt {\ frac {gT _ {\ text {f}} ^ {2}} {8H _ {\ text {i}}}}}.}

Aquí, K y U denotan la energía cinética y potencial de la pelota, H es la altura máxima de la pelota y T es el momento del vuelo de la pelota. El subíndice 'i' y 'f' se refiere a los estados inicial (antes del impacto) y final (después del impacto) de la pelota. Del mismo modo, la pérdida de energía en el impacto puede estar relacionada con el COR por

Pérdida de energía = Ki − KfKi × 100% = (1 − e2) × 100%. {\ Displaystyle {\ text {Energy Loss}} = {\ frac {{K _ {\ text {i}}} - {K _ {\ text {f}}}} {K _ {\ text {i}}}} \ times 100 \% = \ left (1-e ^ {2} \ right) \ times 100 \%.}

El COR de una pelota puede verse afectado por varias cosas, principalmente

  • La naturaleza de la superficie de impacto (por ejemplo, césped, hormigón, malla de alambre)
  • El material de la pelota (por ejemplo, cuero, caucho, plástico)
  • la presión dentro de la pelota (si está hueca)
  • la cantidad de rotación inducida en la pelota al impacto
  • la velocidad de impacto

Las condiciones externas como la temperatura pueden cambiar las propiedades de la superficie de impacto o de la pelota, haciéndolas más flexibles o más rígidas. Esto, a su vez, afectará al COR. En general, la bola se deformará más a velocidades de impacto más altas y en consecuencia perderá más de su energía, disminuyendo su COR.

Giro y ángulo de impacto

Al impactar el suelo, parte de la energía cinética de traslación puede convertirse en energía cinética rotacional y viceversa, dependiendo del ángulo de impacto de la bola y la velocidad angular. Si la pelota se mueve horizontalmente al impacto, la fricción tendrá un componente 'traslacional' en la dirección opuesta al movimiento de la pelota. En la figura, la pelota se mueve hacia la derecha y, por lo tanto, tendrá un componente de fricción traslacional que empujará la pelota hacia la izquierda . Además, si la pelota está girando en el momento del impacto, la fricción tendrá un componente 'rotacional' en la dirección opuesta a la rotación de la pelota. En la figura, la pelota gira en sentido horario, y el punto que impacta el suelo se mueve hacia la izquierda con respecto al centro de masa de la pelota. El componente rotacional de la fricción empuja la pelota hacia la derecha . A diferencia de la fuerza normal y la fuerza de la gravedad, estas fuerzas de fricción ejercerán un par en la bola y cambiarán su velocidad angular ( ω ).

Pueden surgir tres situaciones:

  1. Si una pelota se impulsa hacia adelante con retroceso , la fricción traslacional y rotacional actuará en las mismas direcciones. La velocidad angular de la pelota se reducirá después del impacto, al igual que su velocidad horizontal, y la pelota se impulsará hacia arriba , posiblemente incluso superando su altura original. También es posible que la pelota comience a girar en la dirección opuesta, e incluso rebote hacia atrás.
  2. Si una pelota se impulsa hacia adelante con giro superior , el acto de fricción traslacional y rotacional actuará en direcciones opuestas. Lo que sucede exactamente depende de cuál de los dos componentes domina.
    1. Si la pelota gira mucho más rápido de lo que se movía, la fricción rotacional dominará. La velocidad angular de la pelota se reducirá después del impacto, pero su velocidad horizontal aumentará. La pelota será impulsada hacia adelante pero no excederá su altura original, y seguirá girando en la misma dirección.
    2. Si la pelota se mueve mucho más rápido de lo que estaba girando, dominará la fricción traslacional. La velocidad angular de la pelota aumentará después del impacto, pero su velocidad horizontal disminuirá. La pelota no excederá su altura original y seguirá girando en la misma dirección.

Si la superficie está inclinada en cierta cantidad θ , todo el diagrama se rotará por θ , pero la fuerza de gravedad permanecerá apuntando hacia abajo (formando un ángulo θ con la superficie). La gravedad tendría un componente paralelo a la superficie, lo que contribuiría a la fricción y, por lo tanto, a la rotación.

En los deportes de raqueta como el tenis de mesa o el racquetball, los jugadores expertos usarán giros (incluido el giro lateral) para alterar repentinamente la dirección de la pelota cuando impacta la superficie, como el suelo o la raqueta de su oponente.

Bolas no esféricas

El rebote de una pelota de forma ovalada (como los que se usan en el fútbol de parrilla o el rugby) es en general mucho menos predecible que el rebote de una pelota esférica. Dependiendo de la alineación de la pelota en el impacto, la fuerza normal puede actuar hacia adelante o detrás del centro de masa de la pelota, y la fricción desde el suelo dependerá de la alineación de la pelota, así como de su rotación, giro y velocidad de impacto. Donde las fuerzas actúan con respecto al centro de masa de la pelota cambia a medida que la pelota rueda sobre el suelo, y todas las fuerzas pueden ejercer un torque sobre la pelota, incluyendo la fuerza normal y la fuerza de gravedad. Esto puede hacer que la pelota rebote hacia adelante, hacia atrás o hacia los lados. Debido a que es posible transferir algo de energía cinética rotacional a energía cinética traslacional, incluso es posible que el COR sea mayor que 1, o que la velocidad de avance de la pelota aumente con el impacto.

Múltiples bolas apiladas

Chica de Física (2015). "Caída de bola apilada". Youtube.
striperfly2002 (2012). "Caída de bola en cámara lenta". Youtube.

Una demostración popular implica el rebote de múltiples bolas apiladas. Si una pelota de tenis se apila encima de una pelota de baloncesto, y las dos se caen al mismo tiempo, la pelota rebotará mucho más alto de lo que hubiera sido si se hubiera caído por sí sola, incluso superando su altura de lanzamiento original. El resultado es sorprendente, ya que aparentemente viola la conservación de la energía. Sin embargo, después de una inspección más cercana, el baloncesto no rebota tan alto como lo hubiera hecho si la pelota de tenis no hubiera estado encima, y ​​transfiere parte de su energía a la pelota de tenis, impulsándola a una altura mayor.

La explicación habitual implica considerar dos impactos separados: el baloncesto impactando con el piso y luego el baloncesto impactando con la pelota de tenis. Suponiendo colisiones perfectamente elásticas, el baloncesto que impacta el piso a 1 m / s se recuperaría a 1 m / s. La pelota de tenis que vaya a 1 m / s tendría una velocidad de impacto relativa de 2 m / s, lo que significa que rebotaría a 2 m / s en relación con el baloncesto, o 3 m / s en relación con el piso, y triplicaría su velocidad de rebote en comparación con impactar el piso por sí solo. Esto implica que la pelota rebotaría hasta 9 veces su altura original. En realidad, debido a colisiones inelásticas, la pelota de tenis aumentará su velocidad y altura de rebote en un factor menor, pero aún rebotará más rápido y más alto de lo que debería por sí sola.

Si bien los supuestos de impactos separados no son realmente válidos (las bolas permanecen en contacto cercano durante la mayor parte del impacto), este modelo reproducirá resultados experimentales con un buen acuerdo, y a menudo se utiliza para comprender fenómenos más complejos como el colapso central de supernovas, o maniobras gravitacionales de honda.

Regulaciones deportivas

Varios organismos de gobierno deportivo regulan el rebote de una pelota de varias maneras, algunas directas, otras indirectas.

  • AFL: Regula la presión manométrica del balón de fútbol entre 62 kPa y 76 kPa.
  • FIBA: Regula la presión manométrica para que el baloncesto rebote entre 1200 mm y 1400 mm (parte superior de la pelota) cuando se cae desde una altura de 1800 mm (parte inferior de la pelota). Esto corresponde aproximadamente a un COR de 0.727 a 0.806.
  • FIFA: Regula la presión manométrica del balón de fútbol entre 0,6 atm y 1,1 atm al nivel del mar (61 a 111 kPa).
  • FIVB: Regula la presión manométrica del voleibol entre 0.30 kgF / cm2 a 0.325 kgF / cm2 (29.4 a 31.9 kPa) para voleibol en interiores, y 0.175 kgF / cm2 a 0.225 kgF / cm2 (17.2 a 22.1 kPa) para voleibol de playa .
  • ITF: Regula la altura del rebote de la pelota de tenis cuando se cae sobre un "bloque liso, rígido y horizontal de alta masa". Se permiten diferentes tipos de pelota para diferentes tipos de superficies. Cuando se deja caer desde una altura de 100 pulgadas (254 cm), el rebote debe ser de 54–60 pulgadas (137–152 cm) para las bolas Tipo 1, 53–58 pulgadas (135–147 cm) para las bolas Tipo 2 y Tipo 3, y 48–53 pulgadas (122–135 cm) para bolas de gran altitud. Esto corresponde aproximadamente a un COR de 0.735–0.775 (bola de Tipo 1), 0.728–0.762 (bolas de Tipo 2 y 3) y 0.693–0.728 (bolas de Gran Altitud) cuando se deja caer sobre la superficie de prueba.
  • ITTF: Regula la superficie de juego para que la pelota de tenis de mesa rebote aproximadamente 23 cm cuando se cae desde una altura de 30 cm. Esto corresponde aproximadamente a un COR de aproximadamente 0.876 contra la superficie de juego.
  • NBA: Regula la presión manométrica de la pelota de baloncesto para que esté entre 7,5 y 8,5 psi (51,7 a 58,6 kPa).
  • NFL: Regula la presión manométrica del fútbol americano entre 12.5 y 13.5 psi (86 a 93 kPa).
  • R & A / USGA: Limita el COR de la pelota de golf directamente, que no debe exceder 0.83 contra un palo de golf.

La presión de un fútbol americano estaba en el centro de la controversia desinflada. Algunos deportes no regulan las propiedades de rebote de las bolas directamente, sino que especifican un método de construcción. En el béisbol, la introducción de una pelota a base de corcho ayudó a poner fin a la era de la pelota muerta y desencadenar la era de la pelota en vivo.